Fonctions polynomiales : le début.

Polynômes : le début

Dire que f est un polynôme (ou une fonction polynomiale) signifie que pour tout réel x :

f(x) = a_n.xⁿ + a_n-1.x^n-1 + ... + a₂.x² + a₁.x + a₀ Les réels a_n, a_n-1, ..., a₂, a₁ et a₀ sont les coefficients du polynôme f.

Ethymologie : Le terme "polynôme" vient des mots grecs polus (qui signifie "plusieurs") et onoma (qui veut dire "nom").

Quelques exemples de polynômes.
Sont par exemple des polynômes :

f(x) = 9.x⁴ - 3.x³ + 5.x² - x + 7
Ici, a₄ = 4, a₃ = -3, a₂ = 5, a₁ = -1 et a₀ = 7.
g(x) = (5.x⁷ - 3) . (-x⁴ + 5.x² - x) = -5.x¹¹ + 25.x⁹ - 5.x⁸ + 3.x⁴ - 15.x² + 3.x
h(x) = x² - 3.x + 1
P(x) = -2.x + 3
Q(x) = 2

Les fonctions trinomiales, affines et constantes sont les polynômes dont l'étude est la plus simple. Celle-ci a d'ailleurs déjà été faite.
Comme le montre le second exemple g, un polynôme peut être écrit sous de multiples formes plus ou moins factorisées, plus ou moins dévéloppées.
En règle générale, on préfère les écrire sous leur forme développée, ordonnée (du plus grand exposant au plus petit) et réduite : f(x) = a_n.xⁿ + a_n-1.x^n-1 + ... + a₂.x² + a₁.x + a₀ Cela simplifie considérablement le travail !

A partir de la Terminale S ... La notation "somme".
Il existe une manière plus économique de noter l'écriture d'un polynôme. C'est la notation S (prononcer "sigma"). Elle est encore appelée notation "somme".
Ainsi :

Autrement écrit : Somme pour i = 0 jusqu'à n de a_i.xⁱ Cette notation est employée lorsque dans une somme se répète un motif. Pour f(x), il s'agit du motif a_i.xⁱ.

Degré et valuation.
Le degré d'un polynôme est la plus haute puissance apparaissant dans sa forme réduite.
Par exemple, le degré du polynôme f(x) = 9.x⁴ - 3.x³ + 5.x² - x + 7 est égal à 4. Ceci est noté :

d°(f) = deg(f) = 4 Le degré de la fonction trinomiale h(x) = x² - 3.x + 1 est égal à 2. C'est pour cela que l'on parle aussi de fonction du second degré.
Les fonctions affines sont de degré 1. En effet, revenant sur la fonction P, on peut écrire que : P(x) = -2.x + 3 = -2.x¹ + 3.x⁰ Les fonctions constantes comme Q ont pour degré 0.
Une exception : le degré du polynôme R(x) = 0 est -¥.

Après le BAC... La valuation d'un polynôme est le plus petit exposant apparaissant dans sa forme réduite.
Par exemple, la valuation du polynôme f(x) = 9.x⁴ - 3.x³ + 5.x² - x + 7 est égale à 0. Ceci est noté :

v°(f) = 0 La valuation du polynôme S(x) = x³ - 4.x est égale à 1.

Le coefficient du terme de plus plus degré est appelé coefficient dominant.
Par exemple, le coefficient dominant du polynôme f(x) = 9.x⁴ - 3.x³ + 5.x² - x + 7 est 9.
Le coefficient constant de f est 7.
Autre exemple, pour le polynôme S(x) = x³ - 4.x :

Le coefficient dominant est 1.
Le coefficient constant est 0

Unicité de la forme réduite d'un polynôme.

Pour connaître le pourquoi de la chose, cliquer sur le théorème...

Autrement dit :
Le polynôme nul f(x) = 0 est le seul polynôme dont tous les coefficients égaux à 0.

Une conséquense de ce théorème est :

Pour connaître le pourquoi de la chose, cliquer sur le théorème...

Autrement dit :
Des polynômes ayant des coefficients égaux sont égaux...
Cela pouvait vous paraitre évident mais à priori, rien ne le garantisssait. Une sorte de mécanisme de compensation entre coefficients auraient pu brouiller les cartes...

Ce dernier théorème est important car il permet de passer d'une égalité sur deux polynômes à une suite d'égalités sur les coefficients. Ce qui élimine les x et simplifie considérablement le travail !

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