Le raisonnement par récurrence s'apparente à la théorie des dominos : On considère une suite de dominos. Si un domino tombe alors le suivant tombera. Comme le premier tombe alors le second tombera, puis le troisième, ...etc.. Conclusion : si le premier domino tombe alors tous tomberont. Tout repose en fait sur le principe "si l'un tombe alors le suivant aussi". C'est une sorte de réaction en chaine. Une seule étincelle, un seul domino qui tombe et tous seront par terre ! Le raisonnement par récurrence comporte deux phases : prouver que le premier domino tombe. établir le principe : si le nième domino tombe alors le suivant (le numéro n+1) tombera.. Si on démontre ces deux choses alors la réaction se déclenche. Donc la propriété est démontrée !

La propriété à démontrer est :

Au boulot !

1. Prouver que le premier domino tombe...

   On considère le polynôme f. Celui-ci a deux coefficients a₀ et a₁.
   Donc pour tout réel x par :

   f(x) = a₁.x + a₀

   Si pour tout réel x, f(x) = 0   alors...

   Comme   f(0) = 0   alors il est clair que   a0 = 0. De plus, on peut écrire que   f(1) = a1. Comme   f(1) = 0   alors il est aussi clair que a1 = 0.

   Autrement dit, pour tout polynôme f ayant deux coefficients a₀ et a₁ :

   si f est égal au polynôme nul alors tous ses coefficients sont nuls Donc la propriété est vraie pour n = 1.
   Autrement dit, le premier (le numéro n = 1) domino tombera...

    

2. Etablir le principe "si le nième tombe alors le suivant tombera aussi..."

   Supposons que le nième domino tombe...
   On suppose donc que :

   Hypothèse de récurrence : Pour tout polynôme f ayant n + 1 coefficients   a0, a1, a2, ..., an-1 et an : Si pour tout réel x, f(x) = 0   alors   tous ses coeffcients ak sont égaux à 0.

   Il s'agit donc de démontrer qu'alors cette propriété est aussi vraie pour les polynômes ayant n + 2 coefficients. Il s'agit de démontrer qu'alors le domino suivant va tomber...

   Soit g un polynôme ayant n + 2 coefficients b₀, b₁, b₂, ..., b_n-1, b_n et b_n+1.
   Donc pour tout réel x :

   g(x) = b_n+1.xⁿ⁺¹ + b_n.xⁿ + b_n-1.x^n-1 + ... + b₂.x² + b₁.x + b₀

   Si pour tout réel x, g(x) = 0   alors...

   Intéressons-nous à g(0) : g(x) = bn+1. 0n+1 + bn . 0n + bn-1. 0n-1 + ... + b2 . 02 + b1 . 0 + b0 = b0 Comme on sait que g(0) est aussi égal à 0  alors il est clair que   b0 = 0 Donc, on peut écrire que pour tout réel x : g(x) = bn+1.xn+1 + bn.xn + bn-1.xn-1 + ... + b2.x2 + b1.x = x . (bn+1.xn + bn.xn-1 + bn-1.xn-2 + ... + b2.x + b1) Or pour tout réel x : g(x) = 0 x . (bn+1.xn + bn.xn-1 + bn-1.xn-2 + ... + b2.x + b1) = 0 Or, un produit de deux facteurs est donc si et seulement si l'un au moins des deux facteurs l'est ! Ainsi : ou bien le facteur   x   est nul. ou bien le facteur   h(x) = bn+1.xn + bn.xn-1 + bn-1.xn-2 + ... + b2.x + b1   est nul. Si l'un ne l'est pas, l'autre l'est nécessairement ! Reste à savoir lequel est-ce ? En fait, tout dépend de la valeur de la variable x : Si x est égal à 0 alors... Le facteur   x   est nécessairement égal à 0. Le facteur   h(x)   l'est peut-être mais rien ne permet de l'affirmer...   Si x est différent de 0 alors... Le facteur   x   ne peut pas être égal à 0. Donc   h(x)   est nécessairement nul. Ainsi pour tout réel non nul x,   h(x) = 0. Or le polynôme h est un polynôme ayant n + 1 coefficients Et là, on se dit que l'on va pouvoir appliquer la supposition que nous avons faite... E R R E U R   ! ! ! Car on a dit pour tout réel non nul ! Le problème est de savoir ce qui se passe en pour x = 0. Que vaut donc h(0) ? Pour résoudre ce problème, nous allons avancer la continuité de tout polynôme... Comme la fonction h est continue sur R tout entier alors h est en particulier continue en x = 0. Au voisinage de 0 (comme ailleurs...), on sait que h(x) = 0. Donc lorsque x tend vers 0 alors h(x) tend vers 0. Ainsi : Donc même en x = 0, h(x) = 0. En résumé : nous venons de démontrer que pour tout réel x, h(x) = 0. Or h est un polynôme qui a n + 1 coefficients. L'hypothèse de récurrence (ce que nous avons supposé) est donc applicable à h. Donc, comme h est égal au polynôme nul alors ses coefficients sont tous nuls. Ainsi : bn+1 = 0,   bn = 0,   ...,   b2 = 0 et   b1 = 0. Ainsi, nous avons démontré que : bn+1 = 0,   bn = 0,   ...,   b2 = 0,   b1 = 0 et   b0 = 0. Autrement écrit, les n + 2 coefficients du polynôme g sont nuls. Autrement dit que l'on voulait !

   Conclusion : si la propriété est vraie au rang n (pour les polynômes f à n + 1 coefficients)   alors   elle est vraie au rang n + 1 (pour les polynômes g à n + 2 coefficients) .

   Le principe de récurrence est donc établit...
   Si le nième tombe alors nous savons à présent que le suivant, le numéro n + 1 tombera...
   Sachant que le premier est assuré de tomber alors la cause est entendue...

Conclusion : si le polynôme f est égal au polynôme nul (égal à 0)   alors   tous les coefficients de f sont égaux à 0.