Opérations et polynômes

A l'instar des fonctions dont ils sont des cas particuliers, les polynômes peuvent être maltraités de multiples et diverses manières. Ainsi, on peut :

Ces opérations ne sont pas spécifiques aux polynômes mais aux fonctions. Abordons ces "mauvais" traitements dans le détail.

 

Addition polynomiale.
Quand on ajoute un polynôme f à un autre polynôme g, on obtient un autre polynôme : f + g...

Par exemple, si pour tout réel x :

f(x) = 5.x4 - 2.x2 + x - 1
g(x) = -2.x4 + 3.x3 + 7.x2 + 2.x + 6
alors le polynôme   f + g   est le polynôme défini pour tout réel x par :
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= (5 - 2).x4 + (0 + 3).x3 + (7 - 2).x2 + (1 + 2).x + (-1 + 6)
= 3.x4 + 3.x3 + 5.x2 + 3.x + 5

Le degré du polynôme f + g est au mieux égal au plus grand des degrés des polynômes f et g.

Au lieu d'additionner les polynômes, on peut aussi les soustraire...
Tout cela n'est simplement que du calcul algébrique !

 

Multiplication par un réel.
Multiplier un polynôme f par un réel l donne le polynôme l.f

Par exemple, si pour tout réel x :

f(x) = 5.x4 - 2.x2 + x -1
alors le polynôme   (-3).f   est le polynôme défini pour tout réel x par :
((-3) . f)(x) = -3 . f(x)
= (-3) . (5.x4 - 2.x2 + x -1)
= -15.x4 + 6.x2 - 3.x + 3

Sauf à multiplier par le réel l = 0, le degré du polynôme l.f est le même que celui de f.

 

Multiplication polynomiale.
De la même façon que l'on multiplie deux nombres, on peut faire de même avec deux polynômes f et g. Le résultat de cette opération est également le polynôme f.g.

Par exemple, si pour tout réel x :

f(x) = -3.x2 + 4.x - 2
g(x) = x3 - x + 1
alors le polynôme   f.g   est le polynôme défini pour tout réel x par :
(f.g)(x) = f(x) . g(x)
= (-3.x2 + 4.x - 2) . (x3 - x + 1)
= -3.x5 + 3.x3 - 3.x2 + 4.x4 - 4.x2 + 4.x - 2.x3 + 2.x - 2
= -3.x5 + 4.x4 - 7.x2 + 6.x -2

Sur cet exemple, le polynôme f.g a pour degré 5.
Autrement dit, 2 + 3, le degré de f plus le degré de g.
De façon plus générale le degré d'un produit de polynômes est la somme des degrés des facteurs.

d°(f.g) = d°(f) + d°(g)

En fait, la seule difficulté de cette multiplication polynomiale est le développement...

Après le BAC... Par contre, la division d'un polynôme f par un polynôme g n'est pas toujours possible !
On retrouve cette particularité chez les entiers où par exemple 3 n'est pas divisible par 2...
A l'instar de ce qui se fait pour les entiers, il existe une division euclidienne pour les polynômes...

 

Composition.
A l'instar des opérations précédentes, la composition n'est pas spécifique aux polynômes mais aux fonctions...

Le polynôme f composé avec le polynôme g est le polynôme noté  f o g.

Donnons un exemple de cette nouvelle opération.
Si pour tout réel x :

f(x) = -3.x2 + 4.x - 2
g(x) = 4.x - 1
alors le polynôme   f o g   est le polynôme défini pour tout réel x par :

(f o g)(x) = f( g(x) )
= -3.[g(x)]2 + 4.[g(x)]- 2
= -3.[4.x - 1]2 + 4.[4.x - 1] - 2
= -3.[16.x2 - 8.x + 1] + 4.[4.x - 1] - 2
= -48.x2 + 24.x - 3 + 16.x - 4 - 2
= -48.x2 + 40.x - 9

Par contre,   g o f   est le polynôme défini pour tout réel x par :

(g o f)(x) = g( f(x) )
= 4.[f(x)] - 1
= 4.[-3.x2 + 4.x - 2] - 1
= -12.x2 + 16.x - 8 - 1
= -12.x2 + 16.x - 9

En règle générale :
Le polynôme  g o f   est différent du polynôme g o f.
Mais il peut arriver qu'ils soient égaux...
Par contre, ils ont même degré.

Le degré du polynôme   f o g   est le produit des degrés des polynômes f et g. Ainsi :

d°(f.g) = d°(f) . d°(g)
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