La racine d'un polynôme f est un réel x dont l'image par f est nulle.
Connaître une racine d'un polynôme permet de le factoriser en partie. Connaissant l'intérêt que peut représenter une forme factorisée, on comprend toute l'importance de la notion de racine. C'est l'objet de cette page.

Racine d'un polynôme.

On peut donc dire que :

• La racine d'un polynôme f est un réel x dont l'image par f est nulle.
• Réciproquement, les antécédents de 0 par f sont les racines du polynôme f.
  C'est pour cela que les racines d'un polynôme sont aussi appelées zéros de celui-ci.

Autrement dit, si le réel a est une racine du polynôme f alors le facteur (x - a) apparait dans la forme factorisée du polynôme f.
Grâce à ce théorème, on connaît donc déja l'un facteur de la forme factorisée du polynôme f. Il ne reste plus qu'à déterminer les autres. Pour cela, encore faut-il connaître l'expression du polynôme g.

Trois méthodes permettent de déterminer le polynôme g :

      la méthode dite de Horner
      par identification des coefficients
      la division euclidienne

La première méthode est certainement la plus "mécanique", la seconde la plus accessible et la dernière la plus esthétique.
Mais la meilleure est sans doute celle que l'on maitrise le mieux.

TOTALE FACTORISATION : Au-delà des racines...
Nous l'avons observé : la connaissance d'une racine d'un polynôme permet de le factoriser.
Mais jusqu'où peut-on factoriser un polynôme ? Quelle est la forme ultime du produit que l'on obtient ? Existe-t-il des facteurs irréductibles que l'on ne pourra pas "casser" ?

La réponse est la suivante :

Ce théorème peut paraître quelque peu abstrait.
Examinons quelques exemples pour voir ce que sont leurs formes factorisées ultimes :

• f(x) = 8.x³ - 4.x² + 8.x - 12
  La forme factorisée ultime de ce polynôme du troisième degré est : f(x) = 4 . (x - 1) . (2.x² + x + 3) Elle se compose :

  ® du réel   4. ® du polynôme du premier degré   x - 1   (donc 1 est une racine de f). ® du polynôme du second degré   2.x2 + x + 3. Celui-ci est irréductible (il ne peut pas être factorisé) car son disciminant = -23 est négatif.

  
   
• g(x) = 3.x³ - 9.x² - 18.x + 24
  La forme factorisée ultime de ce polynôme du troisième degré est : g(x) = 3 . (x + 2) . (x - 1) . (x - 4) Elle se compose :

  ® du réel   3. ® du polynôme du premier degré   x + 2   (donc -2 est une racine de f). ® du polynôme du premier degré   x - 1   (donc 1 est une racine de f). ® du polynôme du premier degré   x - 4   (donc 4 est une racine de f).

  Le polynôme g est totalement scindé : sa forme factorisée ultime est composée uniquement de polynôme du premier degré.
  g est du troisième degré et il a trois racines distinctes...
   
   
• h(x) = x³ - x² - 8.x + 12
  La forme factorisée ultime de ce polynôme du troisième degré est :

  h(x)	= (x + 3) . (x - 2) . (x - 2) = (x + 3) . (x - 2)2

  Elle se compose :

  ® du polynôme du premier degré   x + 3   (donc -3 est une racine de f). ® du polynôme du premier degré   x - 2   (donc 2 est une racine de f).

  Le polynôme h est lui aussi totalement scindé. Sauf qu'il n'a que deux racines alors qu'il est du troisième degré.
  Il a une racine simple en la personne de -3.
  Il a une racine double en la personne de 2. Double car le facteur   x - 2   apparait à deux reprises dans la forme factorisée ultime.
  On dit aussi que l'ordre de multiplicité de la racine 2 est égal à 2.
  Pour information, l'ordre de multiplicité d'une racine simple vaut 1.
   
   
• i(x) = 2.x⁴ + 7.x³ + 3.x² - x + 28
  La forme factorisée ultime de ce polynôme du quatrième degré est : i(x) = (2.x² - 3.x + 4) . (x² + 5.x + 7) Elle se compose :

  ® du polynôme irréductible du second degré   2.x2 - 3.x + 4. ® du polynôme irréductible du second degré   x2 + 5.x + 7.

  Ces deux facteurs polynomiaux sont irréductibles.
  Ce polynôme i n'admet aucune racine alors qu'il est pourtant du quatrième degré...
   

L'applette anti-polynôme permet de "casser" quasiment tous les polynômes. Pour factoriser jusqu'à l'ultime limite... Suffit d'cliquer !