Ce théorème repose sur une équivalence entre deux assertions. Il nous faut donc démontrer deux choses :

• Si a est une racine du polynôme f alors ....

  Avant de nous attaquer au gros du problème, développons ce qui suit :
  Si k est un entier naturel quelconque alors :

  	(x - a) . (xk-1 + xk-2 . a + xk-3 . a2 + ... + x2 . ak-3 + x . ak-2 + ak-1)
  =	( xk + xk-1 . a + xk-2 . a2 + ... + x3 . ak-3 + x2 . ak-2 + x . ak-1 )   – ( xk-1 . a + xk-2 . a2 + xk-3 . a3 + ... + x2 . ak-1 + x . ak-1 + ak )
  =	xk + xk-1 . a – xk-1 . a + xk-2 . a2 – xk-2 . a2 + ... + x2 . ak-1 – x2 . ak-1 + x . ak – x . ak-1 – ak
  =	xk – ak

  On appelle g_k le polynôme défini par : g_k(x) = x^k-1 + x^k-2 . a + x^k-3 . a² + ... + x² . a^k-3 + x . a^k-2 + a^k-1 On peut alors écrire que pour tout réel x : x^k – a^k = (x - a) . g_k(x) Ce premier résultat va nous grandement faciliter la manoeuvre...

  Revenons au polynôme f. Ses coefficients sont notés : a₀, a₁, a₂, ... a_n-1 et a_n.
  Pour tout réel x, on a donc que :

  

  Intéressons-nous à la différence   f(x) – f(a) :

  

  Or le réel a est une racine du polynôme f. Donc   f(a) = 0.
  Ainsi pour tout réel x :

  f(x) = (x - a) . g(x)

  Première conclusion : Si a est une racine du alors il existe un polynôme g tel que f(x) = (x - a) . g(x)
  Et d'une !

   

• S'il existe un polynôme g tel que   f(x) = (x - a) . g(x)   alors ....

  C'est assez facile à démontrer...
  Calculons f(a)

  f(a) = (a - a) . g(a) = 0 . g(a) = 0 Comme f(a) est égal à 0 alors a est une racine du polynôme f.
  Et de deux !

   

Conclusion : dire que a est une racine du polynôme f équivaut à dire qu'il existe un polynôme g tel que pour tout réel x :