| Factoriser en utilisant la division euclidienne |
La division euclidienne est la méthode de factorisation qui est certainement la plus technique et la plus âpre.
Mais c'est aussi la plus prometteuse car elle dépasse le cadre des binômes x - a.
On considère le polynôme f défini pour tout réel x par :
Une racine de ce polynôme f est le réel a = -2.
Donc il existe un polynôme g tel que pour tout réel x f(x) = (x + 2) . g(x).
Ce polynôme g est le quotient de la division euclidienne du polynôme f par le polynôme x + 2.
Procédons à celle-ci.
Au-delà de tout cela...
La division euclidienne version polynôme n'est pas réservée à la seule factorisation.
A l'instar de ce qui se fait avec les entiers, tout polynôme peut être divisé euclidiennement par n'importe quel autre polynôme...
Revenons sur le division euclidienne version "entier".
La division euclidienne d'un entier par un autre conduit à un quotient et à un reste.
Par exemple, divisons euclidiennement 317 par 13 :
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La division euclidienne de 317 par 13 donne pour quotient 24 et pour reste 5.
On peut donc écrire que :
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D'une manière similaire, on définit la division des polynômes :
Le polynôme q est le quotient de la division euclidienne du polynôme f par le polynôme g.
Le polynôme r en est le reste.
L'intérêt de ce théorème est qu'il permet la mise en place de la division euclidienne version polynôme.
Le reste r a un degré qui est toujours strictement inférieur à celui du diviseur g.
Lorsque r(x) = 0 alors on a que pour tout réel x :
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L'applette Division euclidienne permet de diviser n'importe quel polynôme par n'importe quel autre.
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