Factoriser avec la méthode de Horner

Si le réel a est une racine du polynôme f alors il existe un polynôme g tel que pour tout réel x :

f(x) = (x - a) . g(x)
La méthode de Horner est une sorte d'algorithme qui à partir des coefficients du polynôme f permet d'obtenir ceux du polynôme g. Illustration :

On appelle a0, a1, a2, ... an-1 et an les coefficients du polynôme f. Donc :

f(x) = an.xn + an-1.xn-1 + ... + a2.x2 + a1.x + a0
Si f est un polynôme de degré n alors g est nécessairement un polynôme de degré n-1.
On appelle b0, b1, b2, ..., et bn-1 ses coefficients. Ainsi :
g(x) = bn-1.xn-1 + ... + b2.x2 + b1.x + b0
Notre objectif est de lié les coefficients bk aux coefficients ak.

La seule relation que nous ayant entre les polynômes f et g est que pour tout réel x :

f(x) = (x - a) . g(x)
Développons (x - a) . g(x) :
(x - a) . g(x)2 = (x - a) .(bn-1.xn-1 + bn-2.xn-2 +... + b2.x2 + b1.x + b0)
= bn-1.xn + bn-2.xn-1 + ... + b2.x3 + b1.x2 + b0.x
    - bn-1.a.xn-1 - bn-2.a.xn-2 - ... - b2.a.x2 + b1.a.x + b0.a
= bn-1.xn + (bn-2 - bn-1.a).xn-1 + .... + (bk-1 - bk.a).xk + ...
    + (b1 - b2.a).x2 + (b0 - b1.a).x - b0.a

Or les polynômes f et (x - a) . g(x) sont égaux.
Comme deux polynômes égaux ont des coefficients égaux, on peut donc écrire que :

Pour xn, an = bn-12   donc  2 bn-1 = an2
Pour xn-1, an-1 = bn-2 - bn-1.a2   donc  2 bn-2 = an-1 + bn-1.a2
Pour xk, ak = bk-1 - bk.a2   donc  2 bk-1 = ak + bk.a2
Pour x2, a2 = b1 - b2.a2   donc  2 b1 = a2 + b2.a2
Pour x1, a1 = b0 - b1.a2   donc  2 b0 = a1 + b1.a2
Pour x0, a0 = - b0.a2   donc  2 b0 = -a0/a   si a est non nul...2

 

Appliquons par exemple, ceci au polynôme :

f(x) = 2.x4 - 5.x3 + 5.x2 - 7.x + 2
Ainsi ici :
a4 = 2   a3 = -5   a2 = 5   a1 = -7   a3 = 2

Une racine de ce polynôme f est le réel a = 2.
Donc il existe un polynôme   g(x) = b3.x3 + b2.x2 + b1.x + b0 tel que pour tout réel x :

f(x) = (x - a) . g(x)

De plus, d'après ce que nous venons de faire, nous pouvons dire que :

b3 = a4
b2 = a3 + b3.a 		b1 = a2 + b2.a
b0 = a1 + b1.a

Ces relations sont les rouages de la méthode de Horner...
Reportons les coefficients des deux polynômes dans un tableau :

Ce tableau très ergonomique va permettre la poursuite de la manoeuvre...

Tout est à présent prêt. La méthode de Horner peut être lancée et appliquée. C'est l'objet de l'animation suivante :

La méthode de Horner en action...

Cliqu'moi d'ssus ! L'applette de Horner permet de factoriser n'importe quel polynôme suivant la méthode du même nom !
A condition toute fois d'en connaître une racine...
Suffit d'cliquer !

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