Factoriser avec la méthode de Horner |
Si le réel a est une racine du polynôme f alors il existe un polynôme g tel que pour tout réel x :
On appelle a0, a1, a2, ... an-1 et an les coefficients du polynôme f. Donc :
La seule relation que nous ayant entre les polynômes f et g est que pour tout réel x :
(x - a) . g(x)2 |
= (x - a) .(bn-1.xn-1 + bn-2.xn-2 +... + b2.x2 + b1.x + b0)
= bn-1.xn + bn-2.xn-1 + ... + b2.x3 + b1.x2 + b0.x - bn-1.a.xn-1 - bn-2.a.xn-2 - ... - b2.a.x2 + b1.a.x + b0.a = bn-1.xn + (bn-2 - bn-1.a).xn-1 + .... + (bk-1 - bk.a).xk + ... + (b1 - b2.a).x2 + (b0 - b1.a).x - b0.a |
Or les polynômes f et (x - a) . g(x) sont égaux.
Comme deux polynômes égaux ont des coefficients égaux, on peut donc écrire que :
| ||||||||||||||||||||||||
Appliquons par exemple, ceci au polynôme :
Une racine de ce polynôme f est le réel a = 2.
Donc il existe un polynôme g(x) = b3.x3 + b2.x2 + b1.x + b0 tel que pour tout réel x :
De plus, d'après ce que nous venons de faire, nous pouvons dire que :
b3 = a4
b2 = a3 + b3.a |
b1 = a2 + b2.a
b0 = a1 + b1.a |
Ces relations sont les rouages de la méthode de Horner...
Reportons les coefficients des deux polynômes dans un tableau :
Tout est à présent prêt. La méthode de Horner peut être lancée et appliquée. C'est l'objet de l'animation suivante :
![]() |
L'applette de Horner permet de factoriser n'importe quel polynôme suivant la méthode du même nom !
A condition toute fois d'en connaître une racine... Suffit d'cliquer ! |