Décomposer une fonction rationnelle par identification

On considère la fonction rationelle f définie pour tout réel x ¹ -3 par :

On sait que f peut être écrite sous la forme :

Autrement écrit, f peut être décomposée en "éléments simples".
Pour déterminer ces trois réels a, b et c, nous allons procéder par identification.

 

Qui dit identification, dit égalité de deux formes semblables.
Nous allons donc modifier la seconde expression de façon à ce qu'elle ressemble à la première.
Il nous faut tout mettre sur un même dénominateur et réduire...

Ainsi donc, pour tout réel x ¹ -3 :

Or si deux fractions qui ont même dénominateur sont égales, c'est que leurs numérateurs respectifs sont égaux.
Ainsi, pour tout réel x ¹ -3 :

a.x2 + (3.a + b).x + (3.b + c)   =   (2).x2 + (-4).x + (5)

Or deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont des coefficients égaux. Ainsi :

Pour x2,   2a = 22
Pour x0,   23.b + c = 52
Pour x1,   23.a + b = -42

Exploitons ces trois équations :

Conclusion : pour tout réel x ¹ -3 :

La méthode par identification est certainement la plus facile...

La méthode par identification est la méthode de décomposition de fonction rationnelle la plus simple. Elle n'a aucun pré-requis.
Beaucoup plus que l'égalité de deux fractions, c'est celle de deux polynômes qui permet de résoudre le problème...


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