Les fonctions rationnelles : en action...

Note : pour accompagner cet exercice commenté et corrigé, nous vous conseillons d'ouvrir les cours Trinômiques XXI et Polynomitude.

Question a

Question b

Question c

La fonction f est définie pour tout réel x par :

a) Déterminer l'ensemble de définition de cette fonction f.

f est une fonction rationnelle. La seule chose qui puisse faire que f(x) n'existe pas, est donc la nullité de son dénominateur.

f(x) existe équivaut à x - 5 ¹ 0 équivaut à x ¹ 5

L'ensemble de définition de f est donc :

D_f = R \ {5} = ]-

; 5[ È ]5 ; +

[

b) Calculer les images par f de -3 et 2.
Pour quelles valeurs de x, f(x) est-il positif ou nul ?

Calculons f(-3) et f(2).

Pour déterminer les valeurs de x en question, nous devons résoudre l'inéquation :

f(x)

0 Pour se faire, nous devons factoriser au maximum de façon à pouvoir en connaître le signe.

En fait, seul le numérateur est à factoriser.
Nous savons que f(2) = 0. Cela signifie que 2 annule ce numérateur.
Donc 2 est une racine de 2.x³ - 9.x² + 3.x + 14.
Donc 2.x³ - 9.x² + 3.x + 14 est factorisable par x - 2.

Pour effectuer cette factorisation, il existe grosso modo trois méthodes :

La méthode par identification.
Elle ne requiert aucune connaissance mais nécessite beaucoup de calculs.
La méthode d'Horner.
Elle automatise tout mais il faut bien en connaître le mécanisme.
La division euclidienne.
C'est ma préférée. Elle est puissante, rapide et à la limite de tout programme.

Après factorisation, on trouve que :

2.x³ - 9.x² + 3.x + 14 = (x - 2) (2.x² - 5.x - 7)

Pour achever le travail, il reste à "casser". Mais c'est là une forme du second degré.
Après application du discriminant, on trouve que :

2.x² - 5.x - 7 = 2 × (x + 1) × (x - 3,5)

L'inéquation devient donc :

Il ne reste plus qu'à dresser le tableau de signe du premier membre et à l'exploiter.

Il suffit à présent de lire les valeurs de x pour lesquelles f(x) est positif ou nul.
Ainsi :

S = ]- ; -1] È [2 ; 3,5] È ]5 ; +[

c) Déterminer quatre réels a, b, c et d tels que pour tout x :

Résoudre l'inéquation.f(x) < 2.x² - 2

Pour déterminer ces quatre réels, il faut en fait décomposer la fonction rationnelle . Pour y parvenir, il existe trois méthodes :

La méthode par identification.
Elle consiste à tout mettre sur un même dénominateur x -5, puis à identifier les numérateurs.
C'est la méthode la moins technique mais la plus calculatoire. Nous la laisserons à la discrétion du lecteur...
La méthode dite de l'apparition.
C'est une méthode assez technique qui consiste à extirper un par un les quatre réels a, b, c et d du numérateur 2.x³ - 9.x² + 3.x + 14.
Appliquons-là ici !
La division euclidienne.
On divise le numérateur 2.x³ - 9.x² + 3.x + 14 par le dénominateur x - 5.
Le quotient de cette division est 2.x² + x + 8. Le reste est 54.
Ainsi, pour tout réel x :2.x³ - 9.x² + 3.x + 14 = (x - 5) × (2.x² + x + 8) + 54Donc, pour tout réel x : Autrement écrit, ce que l'on voulait !

Résolvons l'inéquation :

f(x) < 2.x² - 2

Schématiquement, nous avons quelque chose de la forme :

une fraction rationnelle < un polynôme

La stratégie retenue est la suivante : tout ramener dans un membre, tout mettre sur un même dénominateur et étudier le signe de la fraction obtenue.
Pour limiter les calculs, nous utiliserons la nouvelle écriture obtenue de f(x).

Il ne reste plus qu'à dresser le tableau de signe de cette fraction et à voir...

Notre fraction doit donc être strictement négative. Ainsi :

S = ]- ; -4[ È ]-1 ; 5[

Car ainsi vont les fonctions rationnelles...