Déterminons les solutions de l'équation   f(x) = 0.
Autrement écrite, c'est aussi l'équation   a.x² + b.x + c = 0.

= b² - 4.a.c

L'unique espoir que nous avons de résoudre cette équation réside dans la factorisation.
Tout repose sur le possible emploi de l'identité remarquable a² - b².
En fait, tout dépend du signe du discriminant .

• Si est positif alors
  
  Il vient alors que :
  Conclusion : lorsque le discriminant est positif, l'équation admet deux solutions distinctes   x₁   et   x₂ :
   
• Si est nul alors
  reprenons la résolution :
  Conclusion : lorsque le discriminant est nul, l'équation admet une unique solution   x₁ :
   
• Si est négatif alors
  Revenons deux trois secondes sur notre résolution :
  De plus, un carré est toujours positif ou nul.
  Intéressons nous au signe du premier membre. Le premier membre est toujours toujours positif. Il n'est donc jamais égal à 0.
  L'équation n'admet donc aucune solution.
   
  Conclusion : lorsque le discriminant est négatif, l'équation n'admet aucune solution.