Dans cette page, nous allons mettre sur pied l'édifice "produit scalaire". Nous aborderons ses propriétés. Nous travaillerons directement dans l'espace. Nous serons souvent en marge de ce qui est enseigné au Lycée.
Cette page comprend trois paragraphes.

Le produit scalaire Les propriétés du produit scalaire Le produit scalaire autrement

 

Le produit scalaire.
Du point de vue fonctionnel, le produit scalaire est un procédé qui à deux vecteurs fait correspondre un réel. Algébriquement parlant, le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique, définie et positive. Pratiquement, le produit scalaire a une vocation essentiellement géométrique.

Définition du produit scalaire de deux vecteurs.
Le produit scalaire de deux vecteurs et est lé réel noté . et défini par :

Voilà une superbe définition bien mathématique, c'est-à-dire peu concrète !
Cependant, nous pouvons déjà affirmer que le produit scalaire de n'importe quel vecteur par le vecteur nul est égal à 0. En effet, pour tout vecteur , on peut écrire que :

De la même manière, on démontre que pour tout vecteur , on a aussi :  . = 0

La remarque qui tue (enfin presque !).
De par sa définition, le produit scalaire repose sur la norme d'un vecteur. Réciproquement, on peut voir la norme d'un vecteur comme étant la conséquence du produit scalaire d'un vecteur par lui-même. En effet :

La norme du vecteur est donc aussi la racine de son produit scalaire par lui-même

Sous cette forme, le produit scalaire est quelque chose de peu exploitable. Surtout pour les propriétés que nous entendons établir. Heureusement dans un repère orthonormé, la situation évolue favorablement.


Dans ce repère, la norme d'un vecteur de coordonnées (x ; y ; z) est donnée par :

Si et ont pour coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x' ; y' ;z') alors leur somme + a pour coordonnées (x+x' ; y+y' ; z+z'). Il vient alors que :

 

Voilà donc une caractérisation plus simple du produit scalaire que nous allons nous empresser de mettre en théorème !

Théorème : Si dans un repère orthonormé les vecteurs et ont pour coordonnées
(x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') alors leur produit scalaire est aussi donné par :

. = x.x' + y.y' +z.z'

Voilà donc qui est plus simple que notre définition !

L'applette calculant un produit scalaire.
Calculons le produit scalaire des vecteurs ( ; ; ) et de ( ; ; ) 
Pour saisir les coordonnées de deux vecteurs, utilisez la norme AMCA !.
Expression du produit scalaire dans le plan.
Tout ce qui a été dit sur le produit scalaire dans l'espace l'est aussi dans le plan. Tout à l'exception de son expression analytique dans n'importe quel repère orthonormé. Car dans le plan, une base ne comporte que deux vecteurs !

Si dans un repère orthonormé du plan, les vecteurs et ont pour coordonnées (x ; y) et (x' ; y') alors leur produit scalaire est donné par :

. = x.x' + y.y'
Une remarque vachement importante (et c'est pas de la blague !).
Ce théorème et cette expression du produit scalaire sont uniquement valables dans un repère orthonormé. Etre orthogonal ou simplement normé ne suffit pas. Les deux conditions sont requises.
Si le repère était simplement orthogonal alors l'expression serait de la forme a.x.x' + b.y.y' + c.z.z'.

 

 

Les propriétés du produit scalaire.
Le produit scalaire présente des propriétés similaires à celles de son cousin réel. Comme lui, il est commutatif et distributif vis-à-vis de l'addition. Mais il présente d'autres propriétés qui font de lui la forme bilinéaire symétrique définie positive que nous annoncions précédemment.
Voyons toutes les propriétés du produit scalaire dans le détail.

  1. Le produit scalaire est symétrique ou commutatif.
     
    Propriété 1 : Si et sont deux vecteurs  alors   . = . 
    La preuve de cette propriété.
    Cette propriété se démontre très facilement. On peut partir de la caractérisation du produit scalaire par les coordonnées ou par les normes. Nous opterons pour cette première option.
    Pour tous vecteurs (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z'), on peut écrire que :

    . = x.x' + y.y' + z.z' = x'.x + y'.y + z'.z = .
    Car la multiplication réelle est commutative

    D'où la propriété ! 

    En d'autres termes, le produit scalaire est commutatif. Cette propriété n'est pas spécifique à ce produit. La multiplication de deux nombres qu'ils soient réels ou complexes, présente la même particularité. En effet, il est bien connu que si x et y sont deux réels alors  x×y = y×x.
    Cependant, il ne faudrait pas croire que tous les multiplications sont nécessairement commutatives. En effet si l'on se place dans l'ensemble des quaternions , la multiplication n'y est pas commutative.
    Nous retiendrons simplement que le produit scalaire est symétrique !
     

  2. Le produit scalaire est (bi)linéaire.
     
    Propriétés 2 : Cette propriété comporte deux temps.
    1. Si , et sont trois vecteurs  alors   . ( + ) = . + .
    2. Si a est un réel et , deux vecteurs  alors   (a.) . = a . (.)
    La preuve de cette propriété.
    Pour prouver cette propriété, le chemin le plus facile est de passer par la caractérisation "coordonnées" du produit scalaire.

    i. Pour tous vecteurs (x ; y ; z), (x' ; y' ; z') et (x" ; y" ; z"), on peut écrire que :

    . ( + )  = x. (x' + x") + y . (y' + y") + z . (z' + z")
    = x.x' + y.y' + z.z' + x.x" + y.y" + z.z"
    = . + .

    ii. Pour la seconde partie, si a est un réel et (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') sont deux vecteurs alors on peut écrire que :

    (a.) . = (a.x) . x' + (a.y) . y' + (a.z) . z' = a.(x.x') + a.(y.y') + a.(z.z') = a . (x.x' + y.y' + z.z') = a . (.)
    Ceci car la multiplication réelle est associative.
    C'est-à-dire que pour calculer 3×5×7, on peut commencer par faire 3×5 ou 5×7.
    On peut associer les facteurs comme l'on veut !

    D'où la propriété ! 

    Combinées avec la commutativité, ces deux propriétés font du produit scalaire une forme bilinéaire. Car ce qui peut être distribuer à droite peut aussi l'être par la gauche. En effet, nous avons que :

     ( + ) . = . ( + ) = . + . = . + .
    Tout cela car le produit scalaire est commutatif !

    De la même façon, il est aussi vrai que si a est un réel et deux vecteurs alors :

      . (a.) = a. (.)
    Là encore c'est parce que le produit scalaire est commutatif !

    En résumé, le produit scalaire se distribue aussi bien sur l'addition vectorielle que la multiplication le fait vis-à-vis de cette bonne vieille addition réelle.
     

  3. Le produit scalaire est défini et positif.
     
    Propriétés 3 : défini et positif.
    1. Défini : Le seul produit scalaire d'un vecteur par lui même qui soit nul est celui du vecteur nul.
      En résumé :  si  . = 0   alors   = .
       
    2. Positive : Le produit scalaire de tout vecteur par lui-même est nécessairement un réel positif ou nul.
      En résumé : pour tout vecteur ,  . 0. 
    La preuve de cette propriété.
    Ces deux propriétés sont la conséquence logique de ce qu'est fondamentalement un produit scalaire : une différence de carrés de normes.

    i. Soit  un vecteur dont le produit scalaire par lui-même est égal à 0. On peut alors écrire que :

    Or le seul vecteur ayant sa norme nulle est le vecteur du même nom, c'est-à-dire .
    Ainsi nécessairement = .

    ii. Nous venons d'utiliser que le produit scalaire d'un vecteur par lui-même était égal au carré d'une norme. Or le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. D'où la sous-propriété.

    D'où la propriété !

    Combinées, ces deux sous-propriétés permettent de dire que le produit scalaire de tout vecteur non nul par par lui-même est un réel strictement positif. 

Ces trois propriétés permettent de dire que le produit scalaire est avant tout une forme bilinéaire symétrique définie positive.

 

 

Le produit scalaire autrement.
L'objet de ce paragraphe, nous allons chercher à trouver d'autres expressions du produit scalaire, plus géométriques qu'analytiques...

Prenons deux vecteurs et non nuls (sinon il n'y a rien à faire et ce n'est pas amusant !).

Où que soient leurs représentants, il est toujours possible de les ramener en un même point A.

On munit alors l'espace d'un repère orthonormé

La seule restriction que l'on impose à ce repère est que le vecteur doit avoir la même direction et le même sens que le vecteur .

Dans ce repère, les coordonnées du vecteur sont (0 ; ; 0).
Les coordonnées du vecteur sont (a ; . cos( , ) ; b) où a et b sont des réels sans intérêt de notre point de vue. Il n'y a qu'à voir l'usage que nous allons en faire !

Un mot sur l'ordonnée du vecteur : cos( , ) désigne le cosinus de l'angle géométrique (non orienté) ( , ). S'il en va ainsi, c'est à cause de la définition même du cosinus.

Ayant dit tout cela, nous pouvons en venir à ce qui nous intéresse : le produit scalaire de nos deux vecteurs. Travaillant dans un repère orthonormé, nous pouvons écrire que :

. = 0 × a + × . cos( , ) + 0 × b = . . cos( , )

Nous venons de trouver une nouvelle expression du produit scalaire. Cela mérite bien un théorème !

Théorème : Le produit scalaire des vecteurs et est égal à  . . cos( , ).
En résumé :

. = . . cos( , )

 

La question qui tue : pourquoi ne pas avoir pris des angles orientés pour ( ; ) ?
Pour pouvoir orienter les angles, il faut au préalable définir un sens positif. 
Lorsque l'on est dans un plan, la chose est aisée car partant d'un point, il n'y a que deux façons de parcourir un cercle : vers la droite ou vers la gauche.
Dans l'espace, la chose est beaucoup plus compliquée. 
Prenons un exemple concret : plaçons nous au pôle nord !
On se donne pour défi de faire le tour de la planète : qu'appellera-t-on "partir dans le sens positif" ?
En fait, tout repose sur la position de l'observateur. Lorsque vous observez un cercle dans un plan, il n'y a qu'une seule position possible. Par contre, on peut observer une sphère d'une infinité de positions... D'où la difficulté à orienter l'espace !

Sauf que dans ce que nous venons de faire, nous n'avons besoin de l'angle que pour son cosinus.
Sachant que un réel et son opposé ont des cosinus égaux, l'orientation de l'espace n'est pas ici nécessaire : nous pouvons nous contenter des angles géométriques.. 

Le théorème précédent a plusieurs conséquences qui tiennent à la nature du cosinus.

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