Les équations différentielles linéaires sont à l'extrême limite du programme de Terminale S. Le but de cette page est de faire découvrir au lecteur ce que peuvent être les résolutions de ces équations. Dans ce qui sera traité, seuls les deux premiers exemples font clairement parti du programme de Terminale S. Mais de mon point de vue, tout cela ne nous concerne pas...

Une petite introduction : l'enjeu de notre aventure.
Une équation différentielle est une égalité liant une fonction y et une voire plusieurs de ses dérivées.
Sont par exemple des équations différentielles  y' + cos(x).y = 0   et   y' = cos(y).x.
Précisons que y est une fonction de variable x et que y' désigne la dérivée de la fonction y(x).
Pour alléger l'écriture, on préfère écrire y et y' en lieu et place de y(x) et y'(x).

Dans ces deux équations, l'inconnue est la fonction y(x).
Résoudre la première équation, c'est chercher et déterminer toutes les fonctions y vérifiant  y' + cos(x).y = 0.

Une équation différentielle est parfois complétée par une condition initiale, c'est-à-dire par la connaissance de l'image d'un réel particulier.
Par exemple, résoudre l'équation différentielle  , c'est déterminer toutes les fonctions toutes les fonctions y vérifiant  y' + cos(x).y = 0  et dont par lesquelles l'image de 1 est égale à 2.

Il existe une multitude de types d'équation différentielle. Les plus simples sont les équations différentielles linéaires du premier ordre. C'est avec elles que nous allons réellement aborder les équations différentielles.

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation différentielle de la forme :

y' + a(x).y = b(x)

où y est la fonction inconnue et, a et b sont deux fonctions que nous supposerons continues.
C'est une égalité liant y à sa dérivée y'. C'est pour cela qu'elle est dite du premier ordre.

Nous allons aborder ces équations différentielles au travers de quatre exemples de difficulté progressive. Chaque résolution pratique se conclura par un théorème généralisant ce qui a été vu.

Successivement, nous traiterons quatre types d'équations différentielles linéaires du premier ordre.

Les seules équations différentielles abordées en Terminale S sont les linéaires à coefficients a et b constants. Cela pour dire que les deux derniers exemples que nous traiterons seront au-delà du programme.
Voici donc le fabuleux destin des équations différentielles linéaires.

Résolution d'une première équation différentielle linéaire : une de la forme  y' + a.y = 0.
Nous commencerons notre épopée par le type d'équations différentielles le plus simple que l'on puisse trouver sur le marché : celles de la forme  y' + a.y = 0  où a est un réel fixé. Pour mieux comprendre ce dont il est question, nous allons le faire au travers d'un exemple.

Résolvons l'équation différentielle linéaire :

Nous devons donc trouver toutes les fonctions dérivables y satisfaisant cette équation différentielle.

Problème : où tout cela a-t-il un sens ? Trouver les solutions d'une équation différentielle, c'est chercher des fonctions. Or toutes les fonctions ne sont pas définies sur . L'une par rapport à l'autre, elles peuvent avoir des ensembles de définition différents. En fait, le premier problème de notre résolution est de savoir pour quelles valeurs de x ce que nous allons faire, a-t-il un sens ? Il nous faut définir ou trouver un terrain sur lequel nous pourrons manoeuvrer. Parfois il arrive que soit imposé un intervalle de résolution c'est-à-dire une ensemble où seront définies les éventuelles solutions. Mais ce n'est pas le cas ici.

Nous le savons : toute fonction dérivable est continue. C'est-à-dire que sa courbe est d'un seul tenant. En particulier, toute solution y de notre équation différentielle est donc continue. Or nous connaissons un point de cette fonction : y(0) = 7. C'est la condition initiale. Cela implique que sur un intervalle I autour de 0, la courbe représentant la fonction y ne rencontre pas l'axe des abscisses. Autrement dit, y ne s'annule pas sur l'intervalle I. Et peu importe ce qui se passe en dehors de cet intervalle I car c'est sur lui que nous allons entamer notre manoeuvre.

Une autre conséquence de cette continuité est que le signe de y(x) reste le même sur tout l'intervalle I. y(x) est donc toujours strictement positif.
En effet, s'il venait à l'idée de y(x) de devenir négatif alors cela impliquerait qu'à un moment où à un autre y(x) serait nul, c'est-à-dire que la courbe de y rencontrerait l'axe des abscisses... Une chose impossible sur l'intervalle I !

Comme y ne s'annule pas sur l'intervalle I alors nous allons pouvoir diviser par celle-ci.
Pour tout réel x de l'intervalle I, nous pouvons écrire que :

Là, on choisit d'intégrer cette égalité car si deux fonctions sont égales alors toute primitive de l'autre est égale à une primitive de l'autre plus une constante.
Or une primitive de la fonction sur l'intervalle I est ln(y). Ceci car y est une fonction continue et strictement positive sur I.

Note : Si y avait été une fonction strictement négative alors une primitive de aurait été ln(-y).

De même, une primitive de 4 est 4.x.

Pour tout réel x de l'intervalle I, nous pouvons donc écrire que :

La question qui se pose à présent est : "Mais qui c'est donc cette constante ?"
C'est la condition initiale de notre équation différentielle qui va nous aider à le savoir...

Nous savons que :

Ainsi donc la fonction  f(x) = 7 . e^4.x  définie sur un certain intervalle I est-elle une solution à l'équation différentielle .

A propos de l'ensemble de définition de la solution f et de cet intervalle I... Comme toute fonction exponentielle, la solution f que nous savons trouvée est définie sur tout entier. Elle y est d'ailleurs strictement positive. En fait, tout le problème de toute résolution d'équation différentielle est de savoir sur quel intervalle ou ensemble on travaille.  Ce que nous allions faire, serait-il valable sur un minuscule intervalle I autour de 0 ou alors sur quelque chose de beaucoup plus vaste ? Au début de notre aventure, nous n'en savions rien ! C'est pour cela que nous avons introduit cet intervalle I. Car il nous fournissait un espace ou un ensemble sur lequel nous pouvions manoeuvrer... Après coup, il s'avère que cet espace I que nous aurions pu croire réduit à peu de chose, était en fait l'ensemble des réels tout entier... Mais cela au départ, nous l'ignorions !

Nous avons donc trouvé en la personne de la fonction f une solution à l'équation différentielle . 
Sauf que cette solution a été trouvée en faisant une hypothèse : elle ne s'annulait pas sur un intervalle I !
Et peut-être supposant cela, sommes-nous passés à côté d'autres solutions qui ne seraient pas définies sur  mais sur des ensembles beaucoup plus restreints.
Nous devons donc nous assurer qu'il n'y a pas d'autres solutions que f.

Soit donc g une autre solution de l'équation différentielle .
Par conséquent, g est donc une fonction dérivable où elle est définie. 
On appelle D_g son ensemble de définition. Nous allons essayer de mieux connaître la forme de g(x) !

Comme f est une fonction strictement positive et qu'elle définit sur tout entier, il nous est donc possible de diviser g par celle-ci.

Pour tout réel x de l'ensemble D_g, on définit donc la fonction h par :   h(x) = .
Et réciproquement, nous pouvons écrire que :   g(x) = h(x) . f(x).
A présent, tout le travail va porter sur cette fonction h.

Comme g et f sont deux fonctions dérivables sur D_g, nous pouvons donc dire qu'il en va de même pour h.
De plus, pour tout réel x de l'ensemble D_g, nous avons que :

g étant solution de l'équation différentielle , nous pouvons donc écrire que sur l'ensemble D_g, nous avons : 

Or un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.
Sachant que f(x) est toujours strictement positif, c'est donc nécessairement qui est nul h'(x).

Ainsi donc, pour tout réel x de l'ensemble D_g,  h'(x)  = 0.
La fonction h est donc constante sur l'ensemble D_g. Donc sur ce dernier, h(x) = Constante.
Reste à savoir à quoi est égale cette constante !

C'est encore une fois la condition initiale qui va nous permettre de déterminer cette constante.
En effet, nous pouvons écrire que :

La constante et h(x) donc sont donc toujours égaux à 1.
Par suite, nous pouvons donc écrire que pour tout réel x de l'ensemble D_g, g(x) = f(x). La solution que nous avions trouvée précédemment, était donc la seule...

Conclusion : la seule solution de l'équation différentielle est la fonction f(x) = 7 . e4.x .

De la pratique à la théorie... Ce qui a été fait avec l'équation différentielle peut être généralisé et étendu à toute équation différentielle de cette forme. Cela donne alors le théorème suivant :   Théorème : Toute équation différentielle de la forme admet une unique solution f. Celle-ci est de la forme : f(x) = Constante . e-a.x . C'est la condition initiale qui détermine la constante. Cette unique solution est définie sur . Note : Lorsque la condition initiale est égale à 0 (comprenez lorsque y0 = 0) alors l'unique solution de l'équation différentielle est la fonction nulle. Ceci car c'est alors la constante qui est égale à 0.

Résolution d'une seconde équation différentielle linéaire : une de la forme  y' + a.y = b.
Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser à la résolution des équations de la forme y' + a.y = b  où a et b sont deux réels fixés
Par rapport au précédent type est l'apparition d'un second membre non nul.
De prime abord, on pourrait penser que ce réel b ne change rien quant à la résolution. Que nenni !
En effet, si nous cherchions à faire comme précédemment, après avoir divisé par y que nous aurions supposée non nulle sur un certain intervalle I, nous arriverions à quelque chose de la forme :

Et ça, c'est pas la joie à intégrer !
En effet, si l'on connaît des primitives pour et a dans les personnes de ln(y) et a.x, nous ignorons de quelle forme sont les primitives de .

Nous devons donc envisager une autre stratégie de résolution ! Et notre nouvel axe d'attaque passe par ce que l'on appelle l'équation homogène associée à l'équation différentielle y' + a.y = b.
Schématiquement, s'intéresser l'équation homogène revient à regarder ce qui se passerait si en lieu et place du paramètre b, il y avait 0.
L'équation homogène associée à notre équation différentielle est donc  y' + a.y = 0.
Et ça, nous savons le résoudre !

Résolvons l'équation différentielle linéaire :

Nous l'avons annoncé : notre manoeuvre va reposer sur l'équation homogène. Nous allons suivre la méthode dite de la variation des constantes.
L'équation homogène associée à notre équation différentielle est : y' - 4.y = 0.
Les plus attentifs reconnaîtront là l'équation différentielle qui a été résolue au précédent paragraphe.  

Toutes les solutions de l'équation différentielle  y' - 4.y = 0  sont de la forme :  f(x) = Constante . e^4.x.
Pour la suite de l'aventure, nous décidons de ne nous intéresser qu'à la plus sympathique de ces solutions, comprenez celle qui a sa constante égale à 1.
Dans la suite, nous utiliserons la fonction  f(x) = e^4.x.

Revenons au système original. Nous allons essayer de mieux connaître la forme de ses solutions.
Soit g une solution de l'équation différentielle .
Cette fonction g est définie et dérivable sur son ensemble de définition D_g.

Le lecteur assidu reconnaîtra une façon de procéder que nous avons déjà utilisée...
La fonction f est définie, dérivable et strictement positive sur . Il est donc possible de diviser par f(x).
Pour tout réel x de l'ensemble D_g, on définit la fonction h par :   h(x) = .
Comme précédemment, nous pouvons donc dire que :

La fonction g n'est pas n'importe quelle fonction. Elle est une solution de l'équation différentielle .
Pour tout réel x de l'ensemble D_g, nous pouvons donc écrire que :

Ayant l'expression de h', il est aisé d'en déduire celle de h. Il suffit de se rappeler que l'on est toujours une primitive de sa dérivée...
Pour tout réel x de l'ensemble D_g, on peut donc écrire que :

Maintenant que nous connaissons l'expression de h(x), nous pouvons en déduire celle de g(x). Car c'est là notre vrai objectif !
Pour tout réel x de l'ensemble D_g, il vient donc que :

Il demeure une inconnue à déterminer : la constante.
g étant solution de l'équation différentielle , il en vérifie la condition initiale. Il vient donc que :

Ainsi donc :

Conclusion : L'équation différentielle admet une unique solution  g(x) = -1,5 × e4.x + 3,5

De la pratique à la théorie... Ce qui nous avons fait avec l'équation différentielle se généralise à toute équation différentielle de cette forme. Cela donne alors le théorème suivant :   Théorème : Toute équation différentielle de la forme admet une unique solution f. Celle-ci est de la forme : f(x) = Constante . e-a.x + . C'est la condition initiale qui détermine la constante. Cette unique solution est définie sur . Note : Contrairement à ce qui se passait avec le premier type d'équation, ce n'est pas parce que la condition initiale est égale à 0 qu'il en ira de même pour la constante.

Résolution d'une troisième équation différentielle linéaire : une de la forme  y' + a(x).y = 0.
Ce genre d'équation différentielle ressemble presque au premier type que nous ayons traité. "Presque" car le coefficient a du départ est ici remplacé par une fonction a(x)...
On pourrait croire qu'il s'agir là d'une différence fondamentale qui implique une nouvelle stratégie et une nouvelle méthode. Comme nous allons le voir avec notre exemple, il n'en est rien !
Ce que nous allons faire dans cette troisième partie de notre aventure sera la stricte répétition de ce qui a été fait dans la première...

A titre d'exemple, résolvons l'équation différentielle linéaire :

Avant d'aller plus loin, il nous faut un terrain sur lequel nous allons pouvoir manoeuvrer.
Ce qui était valable dans la première partie l'est encore ici !
Si y est une solution de cette équation différentielle alors c'est une fonction continue.
Etant donné que y(0) est non nul alors il existe un intervalle I autour de 0 que lequel y(x) est non nul. Comme précédemment, nous pouvons même dire que y(x) est positif sur I.

Pour tout réel x de l'intervalle I, nous pouvons donc écrire :

Comme avec le premier exemple, nous sommes en face d'une inégalité composée de fonctions intégrables. 
Pour tout réel x de l'intervalle I, il vient donc :

Le seul obstacle nous séparant de la connaissance d'une première solution de l'équation est cette constante. Comme précédemment, c'est la condition initiale qui va nous permettre de la déterminer.
Nous pouvons écrire que :

Ainsi la fonction  f(x) = 5 . est-elle une solution de l'équation différentielle .
Et là encore, la question qui se pose est de savoir si c'est la seule !
Comme nous l'avons déjà fait, nous allons donc nous intéresser une solution g de l'équation différentielle et à la comparer à la solution f que nous avons trouvée.

Soit g une solution de l'équation différentielle .
Cette fonction g est encore définie et dérivable sur son ensemble de définition D_g.
La fonction f est toujours définie, dérivable et strictement positive sur . On peut donc diviser par f(x).
Pour tout réel x de l'ensemble D_g, on définit la fonction h par :   h(x) = .
Là encore, on retombe sur des choses déjà vues. A savoir :

Comme g est une solution de l'équation différentielle, alors pour tout réel x de l'ensemble D_g, nous avons : 

La fonction h est donc constante sur l'ensemble D_g. Reste à savoir à quoi elle est égale cette Constante !
Là encore, c'est la condition initiale qui va être notre lumière ! En effet, nous avons que :

La fonction g n'est donc rien d'autre que la fonction f.

Conclusion : l'unique solution de l'équation différentielle   est la fonction f(x) = 5..

De la pratique à la théorie... Ce qui vient d'être fait, préfigure le cas général. Avec quelques petites restrictions toutefois que nous évoquerons après notre théorème...   Théorème : Dans ce qui suit, on suppose de a(x) est une fonction continue définie sur . Toute équation différentielle de la forme admet une unique solution f. Celle-ci est de la forme : f(x) = constante . e-A(x) . où A(x) est une primitive de a sur . C'est la condition initiale qui détermine la constante. Cette unique solution est définie sur . Note : Comme pour le premier exemple, lorsque la condition initiale est égale à 0 (comprenez lorsque y0 = 0) alors l'unique solution de l'équation différentielle est la fonction nulle. A propos de la fonction a(x)... Pour limiter les problèmes, nous avons supposé que la fonction a(x) était continue sur tout entier. Deux hypothèses sur lesquelles nous allons apporter des éclaircissements. La fonction a(x) est continue. La continuité tire sa nécessité de la primitive A(x). Car à notre connaissance, seules les fonctions continues ont des primitives (en fait, les choses sont un peu plus souples). En règle générale, toutes les fonctions que l'on est amené à considérer sont dérivables donc continues...   La fonction a(x) est nécessairement définie sur . Nous aurions pu être moins catégorique ! En fait, ce qu'il faut c'est considérer un intervalle ou un ensemble dont la condition initiale x0 fasse partie. Par exemple, l'équation différentielle   n'a aucun sens car 0 ne fait partie de ]0 ; +[ qui est l'ensemble de définition de ln. Par contre, l'équation différentielle linéaire   admet pour unique solution f(x) = . e-x.ln(x) + x . L'ensemble de définition de cette solution f est le même que celui de la fonction logarithme.

Résolution d'une quatrième équation différentielle linéaire : une de la forme y' + a(x).y = b(x).
Nous atteignons là le stade ultime de ce que peut être une équation différentielle linéaire du premier ordre. et là encore, nous allons reprendre les mêmes recettes que celles qui nous ont permis d'avancer jusqu'à présent.

Un bon exemple valant mieux qu'une grande théorie, résolvons l'équation différentielle sympa.

Pour résoudre cette brave équation, nous allons nous suivre le même cheminement que pour la seconde équation. C'est-à-dire considérer l'équation homogène. et suivre la méthode de variation des constantes.

Toutes les solutions de l'équation homogène  y' + (3.x² + 1).y' = 0  sont de la forme  constante . . 
Rappelons que c'est cette équation que nous avons résolue au paragraphe précédent !
Pour se simplifier le travail, on choisit de ne s'intéresser qu'à la plus sympathique d'entre elles. 
Nous posons f(x) = .

Soit g une solution de l'équation différentielle .
Cette fonction g est définie et dérivable sur son ensemble de définition D_g.

Il est claire que f est toujours et encore définie, dérivable et strictement positive sur et que l'on peut donc diviser sans souci f(x).
Pour tout réel x de l'ensemble D_g, on définit la fonction h par :   h(x) = .
Comme précédemment, nous avons encore que :

Nous allons encore chercher à exprimer g(x) en fonction de f(x) en cherchant à déterminer h(x).

La fonction g étant une solution de l'équation différentielle, nous pouvons donc écrire que pour tout réel x de l'ensemble D_g :  

Or à peu de choses près, est une fonction de la forme u'.e^u. Il vient donc que pour tout réel x de l'ensemble D_g : 

Et par suite :

On s'achemine donc vers une solution unique ! Seul obstacle demeurant entre nous et la victoire finale, la . C'est encore une fois la condition initiale qui va lui régler son compte !

Conclusion : l'unique solution de l'équation différentielle   est la fonction g définie pour tout réel x par :

De la pratique à la théorie... Avant de généraliser ce qui vient d'être fait, nous devons bien avoir conscience que nous avons eu à faire à une équation différentielle sympa ! Car tout s'est bien arrangé ! Mais en règle générale, ce n'est pas le cas !  Si nous avions eu à résoudre l'équation différentielle , les choses auraient été différentes... Plus qu'un bel énoncé, le théorème qui suit, est une méthode permettant l'unique solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.   Théorème : Dans ce qui suit, on suppose de a(x) et b(x) sont deux fonctions continues définie sur . Toute équation différentielle de la forme admet une unique solution f. Celle-ci est de la forme : où A(x) est une primitive de a sur . C'est la condition initiale qui détermine la constante. Cette unique solution est définie sur . Note : Ce qui avait été dit sur a(x) à la fin du précédent paragraphe, d'étend ici à b(x). C'est-à-dire que ce théorème peut très bien s'étendre à des ensembles plus restreints que . L'essentiel étant de travailler sur des ensembles où l'équation différentielle linéaire du premier ordre ait un sens...

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
(c) AMLTI Juin 2002. Tous droits réservés.