La croissance comparée n'est plus aux nouveaux programmes de Terminale. Cela nous donne donc une bonne raison d'en parler... Place donc au Big Tournoi !

Croissances comparées à l'infini des fonctions de références

Une introduction à ce Big Tournoi.
Lorsque l'on est face à un quotient de deux fonctions, il n'est pas toujours possible de dire quelle sera sa limite en +. C'est par exemple le cas lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers l'infini. On se trouve alors face à une forme indéterminée.
Nous avons déjà été amené à traiter des cas de ce genre avec les fonctions rationnelles.

Seulement la vie et les quotients en particulier ne sont pas faits que de fonctions puissances en xⁿ. Ils peuvent aussi comporter des logarithmes ou d'exponentielles.
Qui peut dire quelle sera la limite en + d'un quotient comme ?
ln(x)  et  x   s'envolent toutes les deux vers l'infini. Rien, ni personne ne peut dire ce qu'il va advenir du quotient.

Pour départager tout ce petit monde, nous avons organisé le Big Tournoi où chacun affrontera tout le monde. Il y aura trois participants :

• les fonctions puissances de la forme x^a  où a est un réel strictement positif.
• le logarithme népérien (appelez-le "ln").
• la fonction exponentielle.

Ce qui nous intéresse :

Savoir comment se comporte à l'infini un quotient de deux de ces trois fonctions ?

Pour conclure, nous dirons en quoi tout cela peut-être utile : ce sera l'épilogue. 

Premier choc : logarithme contre puissance.
Avant le début du match, observons les courbes représentant les deux combattants.

A gauche, le logarithme népérien		A droite, des fonctions puissances
La fonction logarithme népérien est une fonction qui grimpe à un rythme de sénateur... Elle est assez pépère !		La famille des fonctions puissances comprend entre autres les fonctions racine, identité et carrée. Elles grimpent avec relativement plus de punch...
Ce premier combat comportera deux rounds. Il s'annonce déjà comme un profond sommet du noble art : les maths !

Round Un : ln contre la fonction identité. Dans cette première manche, nous allons essayer de déterminer la limite lorsque x tend vers + du quotient . Pour y parvenir, nous utiliserons une fonction auxiliaire f. On considère la fonction f définie pour tout réel strictement positif x par : f(x) = - ln(x) Nous allons essayer de démontrer qu'à partir d'un certain moment f(x) est toujours positif. En tant que différence de deux fonctions dérivables sur ]0 ; +[, f l'est dérivable aussi. Calculons sa dérivée. Pour tout x : Or lorsque x est strictement plus grand que 4 : Le numérateur  - 2  est strictement positif. Le dénominateur  2.x  est vachement plus grand que 0. Donc  f'(x) est strictement positif.  Donc f est croissante sur l'intervalle [4 ; +[. Regardons justement ce qui se passe  en 4 : nous devons donc calculer  f(4). f(4) = 2 - ln(4) = 2 - 2 . ln(2) = 2 . (1 - ln (2))  Or nous pouvons affirmer que ln(2) est compris entre 0,5 et 1. Donc  f'(4) est positif (ou nul). En résumé, la situation de la fonction f sur l'intervalle [4 ; +[ est la suivante : Donc lorsque x est plus grand que 4,  f(x) 0   ln(x) Pour compléter le tableau, il faut rappeler que le logarithme d'un nombre plus grand que 1 est positif. C'est donc à fortiori vrai lorsqu'il est supérieur à 4. Il ne nous reste plus à présent qu'à achever la manoeuvre : Lorsque x est plus grand que 4, on peut écrire que : Coincé entre un truc qui tend vers 0 et un autre qui y est déjà, le quotient ne peut tendre que vers 0. C'est le théorème des gendarmes... Sous-conclusion : lorsque x s'en va vers +, tend vers 0. La fonction identité est plus forte que le logarithme népérien. Premier round aux fonctions puissances

La fonction identité l'emporte donc sur la fonction logarithme. Maintenant, il s'agit de voir comment se comporte cette dernière avec le reste de la famille puissance.

Round deux : ln contre xa. Pour cette décisive manche, nous utiliserons ce qui a été fait dans le premier round. Et là, tout va aller très vite. Rappelons que a est un réel strictement positif. Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que : Or lorsque x tend vers +, alors  xa  s'en va aussi vers +. donc    tend vers 0. donc tend aussi vers 0.   Sous-conclusion : la limite du quotient    lorsque x tend vers  +, est égale à 0.  Une fonction puissance quelconque à exposant a strictement positif l'emporte toujours sur le logarithme. Second round pour la famille puissance

Ce match s'achève sur une superbe victoire de la famille puissance. Saluons ce grand moment de sport par la "remise des récompenses" qui s'impose.

Conclusion :  à l'infini, une fonction puissance xa impose en toute circonstance sa force et sa loi au logarithme népérien. Autrement écrit, lorsque a est strictement positif : En particulier :

Second choc : exponentielle contre puissance.
Si le premier choc avait été longtemps indécis, il n'en sera pas de même pour celui qui s'annonce.
En prélude à ce titanesque combat, présentons les courbes représentant les deux protagonistes.

A gauche, la fonction exponentielle		A droite, des fonctions puissances
Rien ne saurait qualifier la fougue avec laquelle crôit la fonction exponentielle une fois passé 0 : une croissance d'un fort beau gabarit !		La famille des fonctions puissances comprend entre autres les fonctions racine, identité et carrée. Elles grimpent avec relativement plus de punch...
Ce second combat s'annonce expéditif et sanglant ! Car dans les deux cas, ça grimpe vite !

 

Pour connaître le vainqueur de cet affrontement planétaire, nous devons déterminer la limite du quotient    lorsque x tend vers +. Rappelons que dans l'affaire, est un réel strictement positif. Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que : Lorsque x tend vers +, nous savons que    tend vers 0 donc  1 - a .  tend vers 1 donc    tend vers + donc    s'en va lui aussi vers l'infiniment positif. Le quotient a donc pour limite + lorsque x tend vers +.

Connaissant le vainqueur de ce terrible choc, nous pouvons le conclure.

Conclusion : à l'infini, la fonction exponentielle l'emporte sur n'importe quelle fonction puissance. Autrement dit, si est strictement positif : En particulier :

Le dernier choc : logarithme contre exponentiel.
C'est le dernier match de ce Big Tournoi. Mais au vu des deux précédents chocs, on pressent déjà l'issue de celui-ci.
Comme à l'habitude, commençons par présenter les deux concurrents.

A gauche, le logarithme népérien		A droite, la fonction exponentielle
La très sénatoriale fonction logarithme népérien n'a pour l'instant à son actif qu'une malheureuse défaite face à la famille puissance.		Toujours très en forme après avoir écrabouillée la famille puissance, la fonction exponentielle n'en finit plus de grimper...
Ce dernier combat s'annonce comme une impitoyable boucherie ! Pauvre ln !

L'issue de ce sanglant affrontement dégoulinera de la limite du quotient    lorsque x tend vers +. Pour la connaître, nous utiliserons ce que nous avons fait précédemment. Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que : Or lorsque x tend vers + : Le quotient    tend vers +. Comme    tend vers 0  alors  le quotient positif    s'envole vers +. En tant que produit de deux choses qui s'envolent vers l'infiniment positif, le quotient    ne peut suivre que leur exemple : il tend donc vers +.

Quelle épouvantable massacre ce fut ! Passons à la conclusion de celui-ci.

Le palmarès de ce tournoi.
A l'issue de ce féroce tournoi, nous pouvons dégager une hiérarchie parmi les engagés. Nous pouvons désormais classer les fonctions puissances, logarithme et exponentielle selon l'intensité de leur croissance vers l'infini. Voici ce classement :

ln(x)		x	x2	x3	ex = exp(x)
Classement des fonctions selon la force de leur croissance

Dans un quotient, c'est la "plus forte" qui imposera sa loi en allant vers l'infini. Car c'est ainsi que va l'univers...

Epilogue : la détermination de certaines limites.
On pourrait croire que nous avons organisé ce Big Tournoi juste pour la frime ! Il n'en est rien car il nous donne un état des forces de chacun et nous permet d'envisager de trouver certaines limites.
Voyons cela sur deux exemples :

• Déterminons la limite lorsque x tend vers + de f(x) = e^x - x²

  A première vue, à l'infini il y a là une forme indéterminée :  f(x) = un infini - un infini.
  Il va donc nous falloir manoeuvrer.
  Nous allons nous inspirer du cas polynôme : factoriser par le terme le "plus fort" qui est ici e^x.

  Pour tout réel x, on peut écrire que :

  A présent, nous allons pouvoir conclure.

  Lorsque x tend vers +	tend vers 0.
  	donc  1 -  tend vers 1.
  	donc f(x) tend vers +.

  Conclusion : la limite de  f(x) = ex - x2  lorsque x tend vers +¥, est égale à +.

   
• Déterminons la limite en + de f(x) = .

  Examinons de prime abord le problème :

  Là encore, nous allons devoir manoeuvrer !

  Inspirons-nous des fonctions rationnelles : nous avions alors factoriser le numérateur et le dénominateur par leurs termes de plus haut degré.
  Nous allons reprendre cette idée sauf que nous allons factoriser dans chaque cas par le terme le "plus fort" !
  Et après, ces deux-là s'arrangeront entre eux !

  Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que :

  A présent tout devient possible !

  D'abord, lorsque x tend vers  +, alors    tend vers 0.

  Enfin, lorsque x tend vers +,	- 1  tend vers -1	donc leur quotient tend vers -1
  	1 -   tend vers 1

  Donc lorsque x tend vers +, f(x) tend vers 0.

  Conclusion : la limite de  f(x) =   lorsque x tend vers +¥, est égale à 0.

   

Ce sont là deux cas particuliers où notre palmarès est utile, mais rassurez-vous, il peut aussi servir ailleurs !

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
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