Depuis l'aube des temps, l'homo-mathématicus s'est toujours demandé ce qu'il pouvait bien advenir des fonctions lorsqu'elles s'en vont vers les infinis. Pour estomper ce problème, il a inventé une notion de limite à l'infini qui n'existe pas toujours.
Dans ce qui suit, nous parlerons surtout de limite lorsque x s'en va +¥. Nous aurions pu également traiter de limite à l'infiniment négatif, de l'autre côté. Mais cela aurait fait double-emploi.
Nous aborderons chaque type de limite au travers d'un exemple et de sa courbe avant de caractériser le phénomène avec une condition.
Limites à l'infini
Limite infinie à l'infini.
Par exemple, considèrons la fonction f dont la courbe représentative est :
Observons de plus près cette courbe, en particulier sa partie droite.
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Lorsque x s'en va vers +¥, f(x) devient de plus en plus grand. Dépassant tout plafond, il n'a aucun maximum.
On dit alors que f(x) tend vers +¥. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +¥ est égale à +¥. Ce que l'on résume par :  |
Parmi les fonctions déjà vues en Seconde qui ont pour limite +¥ lorsque x tend vers +¥, il y a :
Pour l'instant, la seule approche que nous ayons donnée d'une limite infinie est une approche graphique. Mais il est possible de caractériser par une condition le fait qu'une fonction tende vers l'infini à l'infini...
En fait, pour une fonction à variable réelle, la définition d'une limite infinie à l'infini est la suivante :
Limite finie à l'infini.
Par exemple, considèrons la fonction f dont la courbe représentative est :
Observons de plus près cette courbe, en particulier ce qui se passe vers la droite.
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Lorsque x s'en va vers +¥, f(x) se rapproche de plus en plus de 2.
On dit alors que f(x) tend vers 2. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +¥ est égale à 2. Ce que l'on résume par :  |
Note : Lorsque x va vers +¥, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d'équation y = 2.
On dit alors que D est une asymptote horizontale à la courbe de f au voisinage de +¥.
La seule fonction vue en Seconde qui ait une limite finie en +¥ est la fonction inverse.
Elle tend en effet vers 0.
La seule approche que nous ayons donnée d'une limite finie est exclusivement graphique. Il est cependant possible de caractériser par une condition le fait qu'une fonction tend vers un réel particulier à l'infini...
Ce qui est valable pour 2, est aussi valable pour n'importe quelle limite 
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Sans limite !
Toutes les fonctions n'admettent pas nécessairement une limite lorsque x s'en va vers +¥. C'est par exemple le cas avec les fonctions sinus et cosinus.
Lorsque x s'en va vers +¥, sinus et cosinus hésitent quant à l'attitude à adopter. Oscillant à jamais, ils n'ont aucune limite finie ou infinie...