Le mot Asymptote vient des mots grecs sun (avec) et piptein (tomber).
Graphiquement, une asymptote à une courbe est une droite. En allant vers un infini, cette courbe se rapproche de plus en plus de cette droite. Elle tombe avec elle dans les abîmes de l'infini.
L'intérêt d'une asymptote est qu'elle permet de limiter les calculs quant à la fonction.
Les asymptotes qui nous intéressent sont celles aux infinis. On distingue deux types d'asymptote :

          les asymptotes horizontales.
          les asymptotes obliques.

En fin de page, nous verrons que l'on peut généraliser la notion d'asymptote...

 

Asymptotes horizontales.
Intéressons-nous à la fonction f définie par :

Traçons la courbe de cette fonction f.

 La droite D d'équation y = 3 est une asymptote à la courbe de f en +¥.
En effet, en allant vers +¥, la courbe Cf se rapproche de plus en plus de la droite D.
A partir d'un certain moment, elle se confond même avec celle-ci...

Voyons ce qu'il en est d'un point de vue numérique. Pour cela, intéressons-nous à la différence f(x) - 3.
En effet, on peut écrire :



Autrement dit, lorsque x va vers +¥, la différence f(x) - 3 devient aussi petite que l'on veut.

Or la différence f(x) - 3 représente la différence d'ordonnées entre un point de la courbe de f et le point de même abscisse de l'asymptote D.
Ainsi plus x devient grand et plus la distance entre la courbe de f et l'asymptote D devient petite.
Cela démontre ce que l'on constatait sur le graphique...

Note : En démontrant que la limite de f en +¥ est égale à 3, on démontre de fait que la droite D d'équation y = 3 est une asymptote horizontale à sa courbe.

 

Asymptotes obliques.
Intéressons-nous à la fonction g définie par :

Comme pour la fonction f, on commence par tracer la courbe de g.

 En allant vers +¥, la courbe représentative de la fonction g semble se rapprocher de plus en plus de la droite D d'équation y = x - 2.
A tel point d'ailleurs, qu'à partir d'un certain moment, elle se confond même avec celle-ci...

Démontrons par le calcul que la droite D d'équation y = x - 2 est une asymptote à la courbe de g en +¥.
A l'instar de ce que nous fait précédemment, on regarde la différence des ordonnées d'un point de la courbe et du point de la droite de même abscisse : g(x) - (x - 2)


Autrement dit, lorsque x va vers +¥, la distance entre la courbe de g et la droite D devient aussi petite que l'on veut.
Ce qui explique cette concordance que l'on constate graphiquement.

Conclusion : on dit que la droite D d'équation y = x - 2 est une asymptote oblique à la courbe de g au voisinage de +¥.

 

C'est quoi une asymptote ?
A ce niveau de notre aventure, une question que l'on peut légitimement se poser est :

C'est quoi une asymptote et ça sert à quoi ?

Une asymptote par rapport à une courbe fourni une sorte de modèle simplifié de croissance ou de comportement.
Comprenez par là qu'on sait par exemple que :

Autrement dit, aux deux phénomènes compliqués f et g, on substitue deux phénomènes simples : les fonctions affines u et v.
Il est indiscutablement plus facile de travailler avec les fonctions u et v qu'avec les fonctions rationnelles f et g.
Les calculs compliqués d'avant sont remplacés par des choses plus simples. La charge de travail s'en trouve donc allégée donc elle est plus rapidement exécutée...
Car pour beaucoup, le temps c'est souvent de l'argent !

L'intérêt d'une asymptote réside donc la simplification du travail au voisinage d'un infini.
Jusqu'à présent, nous avons dit qu'une asymptote était nécessairement une droite. Pour tout le monde, c'est vrai ! Mais nous, nous irons au-delà...

 

Au-delà d'une simple droite...
Dans le paragraphe précédent, nous avons associé les mots asymptote et simplification. Car une fonction affine est un phénomène simple...
Mais toutes fonctions n'admettent pas nécessairement une asymptote. A l'infini, elles ne sont pas nécessairement assimilables à une fonction affine.

Prenons par exemple, la fonction h définie par :

Traçons la courbe représentative de la fonction h :

 Il apparaît clairement que lorsque x va vers +¥, la courbe de la fonction h ne ressemble pas à une droite.
Autrement dit, la courbe de h n'admet pas d'asymptote au voisinage de +¥.
h ne peut pas être simplifiée sous la forme d'une fonction affine.
Pour autant, peut-on dire que h n'est pas "simplifiable" ?

Pour le savoir, il nous faut modifier l'écriture de cette fonction.
Décomposoons la fonction rationnelle h en éléments simples.
Nous utiliserons la méthode "par apparition" : nous allons essayer de faire apparaître le dénominateur x2 + 1 dans le numérateur.

Ainsi, pour tout réel x :

Autrement dit, h peut s'écrire comme étant la somme :


Autrement dit, plus x va vers +¥, et plus la croissance et le comportement de la fonction rationnelle h se rapprochent de ceux du polynôme P.

Lorsque x va vers +¥, la courbe représentative de la fonction rationnelle h se rapproche de plus en plus de la courbe du polynôme P.
En étendant la notion, on peut dire que la parabole représentant le polynôme P est une asymptote de la fonction h au voisinage de +¥.

Parler d'asymptote dans le présent cas sera pour certains "intégristes" une hérésie. Mais après tout, une fonction affine n'est-elle pas elle-même un polynôme ?
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