Toutes les fonctions ne prennent pas leur source à l'infiniment négatif pour se jeter à l'infiniment positif. Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans y être nécessairement définie. Il est alors utile de regarder ce qu'il advient de la fonction lorsque l'on se rapproche de ce réel a. C'est la notion de limite en un point.

 

Limites en un point

 

Limite infinie en un point.
Par exemple, considèrons la fonction f définie sur l'intervalle   ]3 ; +¥[   dont la courbe représentative est :

Observons de plus près cette courbe lorsque x se rapproche de 3.

Lorsque x se rapproche de 3, f(x) devient de plus en plus grand sans qu'aucun plafond ne l'arrête.
On dit alors que f(x) tend vers +¥.
Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers 3 est égale à +¥.
Ce que l'on résume par :

Note : Lorsque x se rapproche de 3, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d'équation x = 3.
On dit alors que D est une asymptote verticale à la courbe de f au voisinage de 3.

Parmi les fonctions déjà vues en Seconde qui ont pour limite +¥ lorsque x tend vers a :

  • la fonction tangente qui a pour limite +¥ lorsque x tend vers /2.
On triche un peu !
  • la fonction inverse qui a pour limite +¥ lorsque x tend vers 0.
Bien que là, on triche un peu !

Nous avons exclusivement évoqué des fonctions qui tendent vers +¥ à l'approche d'un point. Mais il existe aussi des fonctions qui ont pour limite -¥.
C'est à peu près pareil, sauf qu'au lieu de s'envoler vers le ciel elles s'enfoncent dans les abysses...

Franchement hors programme pour tout le monde ! Pour l'instant, la seule approche que nous ayons donnée d'une limite infinie est une approche graphique. Mais il est possible de caractériser par une condition le fait qu'une fonction tende vers l'infini lorsque x tend vers 3 comme avec notre exemple...

De manière plus générale, la définition d'une limite infinie d'une fonction en un point a est la suivante :

C'est du niveau BAC+1 !

 

Limite à gauche et limite à droite.
Rappelez-vous : dans le paragraphe précédent, nous vous annoncions que la fonction inverse avait pour limite +¥ en 0. A présent, nous devons l'admettre et révéler la terrible vérité :

Mais on a pas honte !
En fait, c'est un mensonge partiellement vrai. Quelques explications avec ce qui suit...

Dans ce qui suit, f désignera la fonction inverse. Ainsi pour tout x :

Quelle belle fonction !

La fonction inverse f est définie sur l'intervalle ]-¥ ; 0[ È ]0 ; +¥[.
Autrement écrit, lorsqu'elle tend vers 0, elle peut le faire :

Ca arrive des deux côtés !

Examinons ces deux possibilités :

La fonction inverse n'admet pas de limite en 0. Certes elle a :

Mais ces deux limites ne sont pas égales ! C'est pour cela que l'on ne peut pas parler de limite en 0.

Par contre, pour la fonction g définie pour tout x par :

La revanche de la limite en 0 !
les choses sont différentes !

A l'instar de la fonction inverse, cette fonction g est définie sur ]-¥ ; 0[ È ]0 ; +¥[.
Sa courbe représentative aux abords de 0 est la suivante :

Un aspect très militaire !

D'après cette courbe, on peut dire que :

Comme la limite à gauche de 0 est égale à celle de droite, alors la limite de la fonction g lorsque x tend vers 0 Là, c'est vraiment la TEUF !
Ainsi :
Putain, quelle est belle !

 

Limite finie en un point.
Toutes les fonctions non définies en un point ne s'en vont pas vers les infinis. Certaines se dirigent vers un point précis. On dit alors que leur limite est finie.

Intéressons-nous à la limite en 0 de la fonction f définie pour tout x par :

Fonction très sympathique !

Pour que f(x) existe, il faut que x passe l'épreuve de la racine et celle de l'inverse. Autrement écrit, il doit être positif et non nul
Donc son ensemble de définition est ]0 ; +¥[.
L'approche se fera donc exclusivement par la droite.

Pour avoir une idée de sa limite en 0, traçons la courbe représentative de f.

A l'approche de 0, f(x) semble se rapprocher de 0. Mais ne serait-ce pas une feinte ? Lorsque x se rapproche de 0, f(x) se rapproche de plus en plus de 0.
On dit alors que la limite de la fonction f lorsque x tend vers 0 est égale à 0.
On résume cela par :

La vraie vérité est au bout de votre souris...


 
Prolongement par continuité.
On pourrait croire que tou s'arrête avec cette limite en 0.
Que neni ! Car certains petits malins pourraient poser la question :

La question qui tue !

C'est vrai la fonction f n'est définie que sur l'intervalle ]0 ; +¥[. Donc elle n'est pas définie en x = 0.
Seulement quand x va vers 0, f(x) se dirige lui vers 0.

Si f n'est pas définie en x = 0, on peut cependant l'y prolonger par continuité.
On construit alors une nouvelle fonction F définie sur l'intervalle ]0 ; +¥[ par :

  • F(0) = 0.
  • pour tout réel strictement positif x,   F(x) = f(x) = .
F est la fonction f avec un point en plus !

La vraie vérité vraie est au bout de ta souris...


 
Un autre cas est celui de la fonction f(x) =  en 0.
Cette limite est un grand classique de la Première S...

La vérité est au bout d'un clic de souris...

Franchement hors programme pour tout le monde ! Pour l'instant, la seule approche que nous ayons donnée d'une limite finie en un point est une approche graphique. Mais il est possible de le caractériser par une condition.
La définition d'une limite finie d'une fonction en un point a est la suivante :

C'est du niveau BAC+1 !

 

Sans limite !
Il existe des fonctions non définies en un point qui n'admettent aucune limite. Ainsi en va-t-il des fonctions suivantes :


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