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Un exemple type de limite finie en un point est le cas de la fonction sin(x)/x en 0. Elle n'y est pas définie pourtant elle y admet une limite. C'est toute l'histoire de ce qui suit... |
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Un exemple type de limite finie en un point est le cas de la fonction sin(x)/x en 0. Elle n'y est pas définie pourtant elle y admet une limite. C'est toute l'histoire de ce qui suit... |
On considère la fonction f définie pour tout réel x non nul par :
| Comme toute bonne pièce, cette aventutre comportera plusieurs actes : |
Il semblerait donc que lorsque x tend vers 0, f(x) tende vers 1.
Démontrons par le calcul, cet état de fait !
Acte premier : une certaine inégalité.
Avant d'entamer les hostilités, nous allons démontrer que pour tout x Î ] 0 ; 
/2 [ :
On considère sur le cercle trigonométrique la situation géométrique suivante :
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Le point M est le point du cercle trigonométrique associé au réel x.
T est le point d'intersection de la droite (OM) et de la tangente au cercle trigonométrique en A. Bref, tout cela c'est du déjà vu ! |
On remarque que le triangle (OMS) est contenu dans la portion de disque (OMA) qui est lui même se trouve lui-même inclus dans le triangle (OTA).
Donc leurs aires sont rangées dans le même ordre.
(triangle (OMS)) £ (portion de disque (OMA)) £ (triangle (OTA))
Autrement écrit :
Conclusion : ainsi donc pour tout réel 0 < x < /2 :
Or lorsque x tend vers 0+ :
Ainsi donc :
La fonction f a une propriété intéressante : elle est paire.
En effet, pour tout réel x non nul :
Ainsi :
Lorsque x tend vers 0-, alors -x tend vers 0+.
Or si -x tend vers 0+ alors f(-x) tend vers 1.
Vu que f(x) = f(-x), alors :
En conclusion :
Epilogue : limite en 0.
Les limites de f(x) à gauche de 0 et à droite de 0 sont égales.
Donc la limite de la fonction f(x) en 0 existe et :
Conclusion : lorsque x va vers 0, f(x) = 
tend vers 1.
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La fonction f est donc prolongeable par continuité en 0. Il suffit juste de poser :
Son ensemble de définition est désormais ]-¥ ; +¥[. |