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ce qui suit est réservé à tous ceux qui refusent l'action de l'ignorance. La continuité ne disparaîtra pas comme Carthage... |
L'aventure continue...
Ces dernières années, la
continuité et les fonctions qui le sont, sont tombées en désuétude car tous
les cas que l'on étudie le sont. A force de vivre sans risque, on finit par
oublier qu'ils existent...
Il nous a paru utile et nécessaire de remettre ce concept en valeur.
Nous en donnerons de la continuité une vision
graphique, puis une vision plus analytique.
Continuité
: une vision graphique.
Graphiquement, une fonction continue
est une fonction qui n'a aucun trou ou aucun décrochement sur son ensemble de
définition. Par exemple :
Ces deux fonctions sont définies sur l'intervalle [-3 ; 3] | |
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Cette fonction est continue en x = 1. | Cette
fonction n'est pas continue en x = 1. En effet, la courbe décroche en ce point. |
En règle générale, toutes les fonctions vues sont continues sur leurs ensembles de définition respectifs. Ainsi :
Ces fonctions n'ont aucun décrochement, ni aucun
trou dans leurs courbes respectives.
C'est parce que quasiment toutes les fonctions étudiées au Lycée sont
continues que l'on ne parle plus de continuité.
En résumé, retenez qu'une fonction continue est une fonction dont la courbe
est sans trou ou sans décrochage sur son ensemble de définition.
Continuité
: une vision analytique.
D'un point de vue plus analytique, pour définir la notion de continuité,
on utilise la notion de limite en un point. Illustration avec ce qui suit :
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Observons
le décrochage ci-contre.
La fonction f
ci-contre est définie sur l'intervalle [-3 ; 3].
Elle est donc définie en 1.
D'ailleurs f(1) vaut 1,5. C'est pour cela que la fonction f n'est pas continue en x = 1. |
De cette constatation, découle la définition suivante :
Ainsi donc, pour démontrer qu'une fonction est continue en un point, il suffit de s'intéresser à sa limite en ce point.
Un problème de continuité est avant tout un problème de limite en un point...
Pour conclure, sachez qu'une fonction est continue sur un ensemble si elle est continue en chacun de ses points...