A partir de la Terminale, même si cela est abordé en Première... Dans les exemples donnés dans cette page pour illustrer chaque cas, figurent les fonctions exponentielle et logarithme. Elles ne sont vues qu'en Terminale comme certains cas que nous aborderons. Mais ici, seules leurs limites sont intéressantes !

 

Opérations sur les limites

 

Déterminer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions ne consiste pas seulement à additionner ou à multiplier deux réels. En effet, une limite n'est pas nécessairement un réel. Elle peut être un infini ou ne pas exister.
Dans cette page, nous parlerons de:

la limite d'une somme.
la limite d'un quotient.
la limite d'un produit.
la limite d'une fonction composée.

Nous allons envisager tous les cas possibles et inimaginables. Nous verrons que parfois, il n'y a pas de réponse générale.

Dans les trois tableaux ci-dessous, les limites sont considérés en un même endroit.

Limites en un même point...
Sinon, cela revient à peu près à additionner des pommes et des poires. C'est parfait pour la compote pas pour les limites !

 

Limite d'une somme
De manière générale, la limite de la somme de deux fonctions est égale à la somme des limites de celles-ci. Sauf cas particuliers !
Enonçons les différents cas possibles :

Limite
de f
Limite
de g
Limite
de f + g
Par exemple...
l l' l + l' un truc fini + un truc fini...
l +¥ +¥ un truc fini + un truc positivement grand...
l -¥ -¥ un truc fini + un truc négativement grand...
+¥ +¥ +¥ un truc positivement grand + un truc positivement grand...
-¥ -¥ -¥ un truc négativement grand + un truc négativement grand...
+¥ -¥ Indéterminé un truc positivement grand + un truc négativement grand : lequel l'emporte ?

En conclusion, seul un choc de titans conduit à une indétermination. D'un infini face à un autre, lequel va gagner ?
Vous trouverez la réponse en creusant le problème...

 

Limite d'un produit.
A la différence de la somme, le produit de deux réels négatifs ne donnent pas un machin négatif.
En règle générale, la limite d'un produit est égale au produit des limites.Hors cas particuliers bien sûr !
Envisageons les différents cas possibles :

Limite
de f
Limite
de g
Limite
de f . g
Par exemple...
l l' l × l' Un produit de deux trucs finis...
l
positif non nul
+¥ +¥ Un truc fini positif et un machin positivement grand...
l
positif non nul
-¥ -¥ Un truc fini positif et un machin négativement grand...
l
négatif non nul
+¥ -¥ Un truc fini négatif et un machin positivement grand...
l
négatif non nul
-¥ +¥ Un truc fini négatif et un machin négativement grand...
+¥ +¥ +¥ Le produit de deux machins positivement grands...
+¥ -¥ -¥ Un truc négativement grand et un machin positivement grand...
-¥ -¥ +¥ Le produit de deux machins négativement grands...
0 -¥ ou +¥ Indéterminé Le produit d'un truc méga-petit et d'un machin hyper-grand ! Qui va gagner ?

En conclusion, seul un choc de genre David Zéro vs. Goliath Infini conduit à une indétermination. De l'infiniment petit ou de l'infiniment grand, lequel l'emportera ?
Pour déterminer la limite, il faut donc creuser un peu plus le problème...

 

Limite d'un quotient.
Aux histoires de signe de la multiplication, la division ajoute le fait qu'on ne peut pas diviser par 0.
Cela se retrouve dans les différents cas possibles de limites. Examinons-les.

Limite
de f
Limite
de g
Limite
de f / g
Par exemple...
l l'
non nul
Le quotient de deux machins finis...
l -¥ ou +¥ 0 Un truc fini divisé par un machin infiniment grand...
+¥ l'
positif non nul
+¥ Un truc infiniment grand et positif divisé par un machin positif...
+¥ l'
négatif non nul
-¥ Un truc infiniment grand et positif divisé par un machin négatif...
-¥ l'
positif non nul
-¥ Un truc infiniment grand et négatif divisé par un machin positif...
-¥ l'
négatif non nul
+¥ Un truc infiniment grand et négatif divisé par un machin négatif...
-¥ ou +¥ -¥ ou +¥ Indéterminé De deux machins infiniment grand, lequel est le plus grand ?
l positif non nul
ou +¥
0
en restant positif
+¥ Un truc positif divisé par un machin infiniment petit et positif...
l positif non nul
ou +¥
0
en restant négatif
-¥ Un truc positif divisé par un machin infiniment petit et négatif...
l négatif non nul
ou -¥
0
en restant positif
-¥ Un truc négatif divisé par un machin infiniment petit et positif...
l négatif non nul
ou -¥
0
en restant négatif
+¥ Un truc négatif divisé par un machin infiniment petit et négatif...
0 0 Indéterminé Des deux, lequel est le plus infiniment petit ?

En conclusion, seuls les chocs de deux mêmes extrêmes (deux infinis ou deux zéros) conduit à une indétermination.
Entre deux infiniment grands ou entre deux infiniment petits, le problème demeure ?
Pour déterminer la limite, il faut donc poursuivre les investigations...

 

Limite d'une fonction composée.
Le théorème qui suit est assez naturel. Néanmoins, la rigueur qui caractérise tout mathématicien encroûté impose qu'on l'énonce !

La limite d'une fonction composée n'est abordée qu'en Terminale même si on l'utilise déjà en Première...

Par exemple, avec la fonction f définie par tout réel x par :

Déterminons la limite de f lorsque x tend vers +¥.

Raisonnons un peu !
Ainsi :


Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
(c) AMLTI Décembre 1998/Janvier 2003. Tous droits réservés.