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Le théorème suivant est enseigné en Première.
Dans cette classe, il est admis. Sa démonstration n'est pas d'une
redoutable difficulté. Elle repose sur les théorèmes de Rolle et des
accroissements finis qui ne sont vus qu'après le BAC... |
| Théorème : sens de variation et signe de la dérivée. La fonction f est dérivable sur l'intervalle I.
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La preuve de ce théorème :
Dans ce qui suit, nous n'allons démontrer que la première partie du théorème :
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Ce que nous savons sur la fonction f :
Nous devons démontrer que f est croissante sur l'intervalle I. |
Soient a et b deux réels de l'intervalle I tels que a < b.
Donc la différence b - a est strictement positive.
La fonction f étant dérivable sur l'intervalle I, elle l'est donc sur le sous-intervalle [a ; b].
Comme la fonction f est dérivable sur
l'intervalle [a ; b], alors en application du théorème des accroissements
finis, il existe un réel c de l'intervalle [a ; b] tel que f'(c)
= 
.
Comme c est aussi un réel de l'intervalle I alors f'(c)
est strictement positif.
Comme le quotient
et son dénominateur b - a sont positifs alors la différence f(b)
- f(a) l'est aussi.
Donc f(a) < f(b).
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En résumé sur l'intervalle I : Si a < b alors f(a) < f(b). Donc la fonction f est croissante sur l'intervalle I. |
D'où le théorème.