Après les considérations théoriques, venons-en à la pratique et aux dérivées des principales fonctions.
Mais attention, ce n'est pas parce qu'une fonction est définie quelque part qu'elle y est pour autant dérivable.
Dérivées des principales fonctions
Les fonctions puissances.
Les premières fonctions dont nous allons énoncer les dérivées sont les monômes : ces puissances de x avec lesquelles on écrit les polynômes.
Toutes ces fonctions sont définies sur ]- ; + [. Elles y sont aussi dérivables.
Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivation | Annexe |
k | 0 | ]- ; +[ | La dérivée de f(x) = 3 est f'(x) = 0. |
x | 1 | ]- ; +[ | La preuve |
x2 | 2.x | ]- ; +[ | La preuve |
x3 | 3.x2 | ]- ; +[ | La preuve |
xn | n . xn-1 | ]- ; +[ | La preuve |
Les fonctions inverses et racine.
Ces fonctions sont les inverses de celles que nous venons d'évoquer.
Et comme ces premières, elles sont dérivables là où elles sont définies... à l'exception de la fonction racine.
Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivation | Annexe |
]- ; 0[ È ]0 ; +[ | La preuve | ||
]- ; 0[ È ]0 ; +[ | La preuve | ||
]- ; 0[ È ]0 ; +[ | La preuve | ||
]0 ; +[ n'est pas dérivable en 0. |
La preuve |
Les fonctions trigonométriques.
Les fonctions trigonométriques sont les fonctions sinus, cosinus et tangente.
Là où elles sont définies, ces fonctions sont dérivables.
Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivation | Annexe |
sin(x) | cos(x) | ]- ; +[ | La preuve |
cos(x) | -sin(x) | ]- ; +[ | La preuve |
tan(x) | ... ]-/2; /2[ ... Bref là où tangente est définie. |
La preuve |
Plus tard, nous évoquerons le cas des réciproques de ces fonctions et de leurs dérivées...
Logarithme, exponentielle et compagnie...
Les fonctions logarithmes, exponentielles et puissances réelles sont généralement abordées en Terminale. Elles sont toutes dérivables sur leurs ensembles de définition...
Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivation | Annexe |
ln(x) | ]0 ; +[ | La preuve | |
ex | ex | ]- ; +[ | La preuve |
xa | a . xa-1 | ]0 ; +[ | La preuve |
ax | ln(a) . ax | ]- ; +[ | La preuve |
Si ln et exp sont abordés par tout le monde, il n'en pas de même pour les deux dernières fonctions : les puissances réelles et l'exponentielle de base...