Après les considérations théoriques, venons-en à la pratique et aux dérivées des principales fonctions.
Mais attention, ce n'est pas parce qu'une fonction est définie quelque part qu'elle y est pour autant dérivable.

 

Les fonctions puissances.
Les premières fonctions dont nous allons énoncer les dérivées sont les monômes : ces puissances de x avec lesquelles on écrit les polynômes.
Toutes ces fonctions sont définies sur ]- ; + [. Elles y sont aussi dérivables.

Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
k 0 ]- ; +[ La dérivée de  f(x) = 3
est  f'(x) = 0.
x 1 ]- ; +[ La preuve
x2 2.x ]- ; +[ La preuve
x3 3.x2 ]- ; +[ La preuve
xn n . xn-1 ]- ; +[ La preuve

 

 

Les fonctions inverses et racine.
Ces fonctions sont les inverses de celles que nous venons d'évoquer.
Et comme ces premières, elles sont dérivables là où elles sont définies... à l'exception de la fonction racine.

Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
]- ; 0[ È ]0 ; +[ La preuve
]- ; 0[ È ]0 ; +[ La preuve
]- ; 0[ È ]0 ; +[ La preuve
]0 ; +[
n'est pas dérivable en 0.
La preuve

 

 

Les fonctions trigonométriques.
Les fonctions trigonométriques sont les fonctions sinus, cosinus et tangente.
Là où elles sont définies, ces fonctions sont dérivables.

Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
sin(x) cos(x) ]- ; +[ La preuve
cos(x) -sin(x) ]- ; +[ La preuve
tan(x) ... ]-/2; /2[  ...
Bref là où tangente est définie.
La preuve

Plus tard, nous évoquerons le cas des réciproques de ces fonctions et de leurs dérivées...

 

 

Abordés seulement en Terminale... Logarithme, exponentielle et compagnie...
Les fonctions logarithmes, exponentielles et puissances réelles sont généralement abordées en Terminale. Elles sont toutes dérivables sur leurs ensembles de définition...

Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
ln(x) ]0 ; +[ La preuve
ex ex ]- ; +[ La preuve
xa a . xa-1 ]0 ; +[ La preuve
ax ln(a) . ax ]- ; +[ La preuve

Si ln et exp sont abordés par tout le monde, il n'en pas de même pour les deux dernières fonctions : les puissances réelles et l'exponentielle de base...


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