Une chose que l'on évoque sans être spécifiquement au programme est que la dérivabilité d'une fonction en un point y implique la continuité. Avec cette page, nous conclurons des fonctions à la dérive sur ce point...

Le théorème.
Le théorème est le suivant :

Théorème :  Si f est dérivable en x0   alors   f est continue en x0.

A défaut de donner un exemple, nous allons démontrer ce théorème.

La preuve de ce théorème :
Attention, nous allons être hyper-rapide !
La fonction f est dérivable en x0. 
Donc on peut écrire que pour tout réel h proche de 0:

f(x0 + h) = f(x0) + h . f'(x0) + h . e(h)

où e est une fonction qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

Intéressons nous à la limite de f(x0 + h) lorsque h tend vers 0.
Lorsque h tend vers 0 :

Donc lorsque h tend vers 0, f(x0 + h) tend vers f(x0).
Donc la fonction f est continue en x0.

 

Le contre-exemple
Si la dérivabilité en un point y implique la continuité, la réciproque est fausse.

Par exemple, si l'on considère la fonction racine  f(x) = :

Comme quoi, les fonctions continues et non dérivables, cela existe !

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
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