Ce qui suit est à la portée des élèves de Première S. Le raisonnement donnant la dérivée de la fonction puissance nécessite certaines connaissances que seuls ont les élèves de Terminale

Dérivées des fonctions puissances :
Le pourquoi...

Au travers de cette page, nous allons étudier la dérivabilité des fonctions puissances. Nous aborderons :

La fonction identité La fonction carré La fonction cube La fonction puissance

Et ça commence dés à présent...

 

Dérivée de la fonction identité f(x) = x.
Pour beaucoup de personnes, la dérivée de la fonction f(x) = x est à priori elle-même. En fait, il n'en est rien. Nous allons en apporter la preuve...

x est un réel fixé.

Pour voir si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite de quotient lorsque h tend vers 0.

Pour tout h non nul, on peut écrire que :

Donc lorsque la limite de lorsque h tend vers 0 est égale à 1

Conclusion : la fonction identité f(x) = x est dérivable sur ]- ; +[. Pour tout réel x :

f'(x) = (x)' = 1

 

Dérivée de la fonction carré.
La dérivée de la fonction carrée est l'une des plus facile à trouver. Pour l'obtenir, il suffit d'appliquer la définition du nombre dérivé.

On note f cette fonction carré. x est un réel fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite de lorsque h tend vers 0.

On peut écrire que pour tout h non nul :

Donc lorsque la limite de lorsque h tend vers 0 est égale à 2.x

Conclusion : la fonction carré f(x) = x2 est dérivable sur ]- ; +[. Pour tout réel x :

f'(x) = (x2)' = 2.x

 

Dérivée de la fonction cube.
Le raisonnement conduisant à la dérivée de la fonction cube repose sur la formule : 

(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3

Celle-ci est parfois abordée en Seconde avec les autres identités remarquables.

On note f cette fonction cube. x est un réel fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous allons étudier la limite de lorsque h tend vers 0.

Pour tout réel h non nul :

Donc lorsque la limite de lorsque h tend vers 0 est égale à 3.x2

Conclusion : la fonction cube f(x) = x3 est dérivable sur ]- ; +[. Pour tout réel x :

f'(x) = (x3)' = 3.x2

 

Dérivée d'une fonction puissance n.
Notre démonstration s'appuiera sur une formule qui n'est pas abordée avant la Terminale :celle du binôme.

Cette formule permet de développer de grands produits. C'est une sorte de super identité remarquable...

On note f la fonction définie par f(x) = xn. 
x est un réel fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, étudions  la limite de lorsque h tend vers 0.

On peut écrire que pour tout h non nul :

Donc lorsque la limite de lorsque h tend vers 0 est égale à 2.x

Conclusion : la fonction puissance f(x) = xn est dérivable sur ]- ; +[. Pour tout réel x :

f'(x) = (xn)' = n . xn-1
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