Le pourquoi des dérivées des fonctions inverses...

Au travers de cette page, nous allons étudier la dérivabilité des fonctions inverses. Nous traiterons :

Dérivée de la fonction inverse.
La fonction inverse peut être dérivée partout sur R sauf en 0. Une histoire dont nous allons vous compter les fondements...

On appelle f cette fonction inverse. Ainsi : f(x) =

x est un réel non nul fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite de lorsque h tend vers 0.

Pour tout h non nul, on peut écrire que :

Donc lorsque la limite de lorsque h tend vers 0 est égale à .

Conclusion : la fonction inverse f est dérivable sur ]-

; 0[ È ]0 ; +

[. Pour tout réel non nul x :

Dérivée de la fonction inverse carré.
Comme sa cousine, cette fonction peut être dérivée partout sur R sauf en 0. Son aventure est ce qui suit :

On appelle f cette fonction inverse carré. Ainsi : f(x) =

x est un réel non nul fixé.

Nous pourrions faire comme pour les deux fonctions précédentes. Mais non !

Pour tout h non nul, on peut écrire que :

Donc lorsque la limite de lorsque h tend vers 0 est égale à .

Conclusion : la fonction inverse carré f est dérivable sur ]-

; 0[ È ]0 ; +

[. Pour tout réel non nul x :

Dérivée de la fonction inverse puissance.
On appelle f cette fonction inverse puissance. Ainsi, pour tout réel non nul x :

f(x) =

x est un réel non nul fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite de lorsque h tend vers 0.

Pour tout h non nul, on peut écrire que :

Le quotient est donc le produit de deux facteurs :

Le premier facteur est le quotient qui conduit à la dérivée de xⁿ.
Lorsque h tend vers 0, le second facteur tend vers .

En résumé :

Conclusion : la fonction inverse f est dérivable sur ]-

; 0[ È ]0 ; +

[. Pour tout réel non nul x :

Dérivée de la fonction racine.
La fonction racine est définie pour tout réel positif, y compris 0. Pourtant elle n'y est pas dérivable...

On note f la fonction racine. Ainsi : f(x) =

x est un réel positif fixé.

Pour déterminer si f est dérivable en x, nous devons étudier la limite de lorsque h tend vers 0.

Pour tout h non nul, on peut écrire que :

Là, nous devons envisager deux cas :

Si x = 0 alors lorsque h tend vers 0, le quotient tend vers +. Donc f n'est pas dérivable en 0.
Si x est non nul alors la limite de lorsque h tend vers 0 est égale à .

Conclusion : la fonction racine f est dérivable sur ]0 ; +

[. Pour tout réel positif non nul x :

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