Composée de deux fonctions : une vraie démonstration !

Dérivée de la composée de deux fonctions.
La première démonstration que nous vous avons proposée est simplificatrice. En voici une autre, certainement plus ardue mais totalement valable... sans aucune restriction...

x₀ est toujours un réel fixé.
f est une fonction dérivable en x₀.
On appelle y₀l'image de x₀ par f. Donc y₀ = f(x₀) .
g est une fonction dérivable en y₀.

Notre mission est toujours de démontrer que la composée fog est dérivable en x₀.

Pour étudier la dérivabilité de fog en x₀, nous allons nous intéresser (comme d'habitude) à la limite lorsque x tend vers x₀ du quotient .

Exploitons les renseignements que nous avons :

Comme la fonction f est dérivable en x₀ alors au voisinage de ce point :

f(x) = f(x₀) + (x - x₀) . f'(x₀) + (x - x₀) . e(x)

où e est une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers x₀.
De plus :

f(x) - f(x₀)

= (x - x₀) . f'(x₀) + (x - x₀) . e(x)
= (x - x₀) . [f'(x₀) + e(x)]

Nous réutiliserons ce résultat par la suite...

Comme g est dérivable en y₀ alors au voisinage de ce point :
g(y) = g(y₀) + (y - y₀) . g'(y₀) + (y - y₀) . j(y)
où j est une fonction qui tend vers 0 lorsque y tend vers y₀.

A présent réfléchissons un peu !

Nous savons que la fonction f est dérivable en x₀. Elle y est donc continue. En conséquence :
Lorsque x se rapproche de x₀, y = f(x) se rapproche de y₀ = f(x₀).
Ainsi, nous pouvons affirmer que :

Nous savons que :

y = f(x) et y₀ = f( x₀)Nous allons substituer y et y₀ par ces valeurs dans la relation : g(y) = g(y₀) + (y - y₀) . g'(y₀) + (y - y₀) . j(y)

Pour tout x assez proche de x₀, on peut écrire que :

Donc lorsque x tend vers x₀, le quotient tend vers f'(x₀) . g'(f(x₀))

Conclusion : si la fonction f est dérivable en x et que la fonction g est dérivable en f(x) alors leur composée fog est dérivable au point x. De plus :

(gof)' (x) = f'(x) . g'(f(x))