Les fonctions réciproques sont à la frontière des
programmes de Terminale. On peut les effleurer lorsque l'on évoque les
fonctions logarithme et exponentielle. Les notions d'injection, de
surjection et de bijection sont largement hors du programme ! Dans cette page, nous parlerons et des unes et des autres ! |
Fonctions
réciproques :
des fragments de vérité...
Au sommaire de Fonctions réciproques :
A présent, les choses sérieuses peuvent commencer. |
Une introduction.
Le problème des fonctions réciproques est le suivant :
Une
fonction f fait correspondre à
tout x un élément y. |
Dans cette page, nous allons aborder la question et voir sous quelle condition cette réciproque g peut exister...
Injection, surjection, bijection :
vers la
théorie.
Essayons de voir sous quelle(s) condition(s) une fonction peut avoir une
réciproque. Pour cela, nous allons étudier un cas particulier.
Intéressons-nous la fonction f dont
la courbe se trouve ci-contre, à droite.
Cette fonction f
est définie sur l'intervalle [1 ; 5]
. f : [1 ; 5] ]-¥ ; +¥[ |
Notre but est de trouver (si possible) une fonction g qui nous fasse faire le chemin inverse de f. C'est ce que l'on appelle une fonction réciproque. Et c'est ce que résume le schéma suivant :
Commençons nos investigations sur cette
éventuelle réciproque g.
La fonction g
doit être un procédé qui a un réel y
doit associer un réel x.
Si l'on examine la situation ci-contre,
il existe des réels y à qui, on ne
peut pas associer de réel x.
C'est par exemple le cas avec y = 4,5. On ne peut lui trouver aucun x. La fonction g
ne sera donc pas définie sur ]-¥ ;
+¥[ .
Nous allons devoir réduire son ensemble de définition... |
Définition :
I et J sont deux
ensembles de réels.
Dire qu'une fonction f : I J est une surjection signifie que tout réel y de l'ensemble d'arrivée J a au moins un antécédent x par la fonction f. |
Ainsi avec notre
exemple, la fonction f
: [1 ; 5]
]-¥ ;
+¥[
n'est pas une surjection
car y = 4,5
n'a pas d'antécédent par f.
Par contre, si l'on change l'ensemble
d'arrivée...
Amputée, la fonction f: [1 ; 5] [-1 ; 4,0625]
est elle, une surjection. |
Nous savons déjà que si cette fonction g
existe alors elle sera définie sur [-1 ; 4,0625].
L'étape suivante va consister à définir précisément cette fonction
réciproque g.
A tout réel y de l'intervalle [-1 ; 4,0625], la fonction g doit associer un et un seul réel x. Précisons que ce réel x est nécessairement l'antécédent de y.
Examinons la courbe ci-contre :
La fonction g
ne peut donc pas être définie car il existe des réels y
qui ont plus d'un antécédent par f. |
Définition :
I et J sont deux
ensembles de réels.
Dire qu'une fonction f : I J est une injection signifie que tout réel y de l'ensemble d'arrivée J a au plus un antécédent x par la fonction f. Note : "au plus" signifie qu'il peut ne pas y en avoir... |
Pas exactement ! En fait, nous allons restreindre f de façon à en faire une injection.
Restreignons la fonction f
à l'intervalle [2,75 ; 5].
On remarque alors que tout réel y de l'intervalle [-1 ; 4,0625] a un et un seul antécédent x dans l'intervalle [2,75 ; 5] par la fonction f. La fonction f
est donc devenue une injection de [2,75 ; 5]
sur |
Conclusion :
au départ, la fonction f n'était
ni surjective, ni injective. Mais à la suite de nos délires, elle
l'est devenue.
La fonction est une bijection de de [2,75
; 5] sur [-1 ; 4,0625]. La fonction réciproque g est donc la fonction définie par :
|
L'essentiel : ce qu'il
faut retenir...
Après tant de souffrances et tant d'épreuves, voici qu'apparaît ce que
nous cherchions.
Définitions : I et J sont deux
ensembles de réels.
Dire qu'une fonction f : I J est une bijection signifie que tout réel y de l'ensemble d'arrivée J a exactement un antécédent x par cette fonction f. Une fonction qui est injective et surjective, est donc bijective. Si
f
est une bijection alors sa fonction
réciproque est la fonction g définie par :
De plus :
|
Quelques exemples.
Dans ce paragraphe, nous allons mettre en pratique ce que nous avons vu en
théorie. Nous allons nous intéresser aux cas de trois
fonctions de référence.
Nous verrons :
Commençons à présent notre tour d'horizon !
La fonction carrée. La fonction carrée admet-elle une réciproque ? Mais d'abord, est-ce une bijection ? Mais avant toute chose, définissons la. La fonction carrée est la fonction f définie par : Voyons ce qu'il en est avec sa courbe...
Tout le monde le sait : la réciproque de la fonction carrée est la fonction racine carrée. |
La fonction
cube. Contrairement à la fonction carrée, nous n'allons pas être obligé de restreindre la fonction cube pour en faire une bijection. La fonction cube est la fonction f définie par : Voyons la manière dont les choses se goupillent avec sa courbe...
Définissons cette réciproque g de la fonction cube. Pour cela, nous devons partir des renseignements dont nous disposons :
Autrement écrit : Cette fonction g
porte le nom de fonction racine cubique.
|
La fonction inverse. La fonction inverse est une fonction à deux "branches". Cela pourtant ne l'empêche pas d'être une bijection... La fonction inverse f est la fonction définie par : Pour voir si la fonction inverse est une bijection, intéressons-nous à sa courbe.
La fonction g
est définie sur l'intervalle
]-¥ ; 0[ È ]0 ; +¥[.
On dit que la fonction inverse est une
involution, c'est-à-dire qu'elle est sa propre réciproque. |
Un mot pour terminer : continuité d'une
fonction réciproque.
La courbe d'une fonction réciproque s'obtient par symétrie par rapport
à la première bissectrice du plan.
La conséquence de cette construction est le théorème suivant :
Théorème : Continuité
d'une fonction réciproque. La fonction f : I J est une bijection de I sur J. Si la fonction f est continue sur I alors sa fonction réciproque g est continue sur J. |
C'est par exemple le cas avec les réciproques des fonctions carrée et cube pour peu que l'on restreigne la première...