Les fonctions réciproques sont à la frontière des programmes de Terminale. On peut les effleurer lorsque l'on évoque les fonctions logarithme et exponentielle. Les notions d'injection, de surjection et de bijection sont largement hors du programme !
Dans cette page, nous parlerons et des unes et des autres !

 

Au sommaire de Fonctions réciproques :

A présent, les choses sérieuses peuvent commencer. 

 

Une introduction.
Le problème des fonctions réciproques est le suivant :

Une fonction f fait correspondre à tout x un élément y.

Mais réciproquement, existe-t-il une autre fonction g qui à y fasse correspondre x ?
Autrement formulé, existe-t-il une fonction g telle que g(f(x)) =
x ?
Existe-t-il un chemin de retour pour la fonction f ?

Dans cette page, nous allons aborder la question et voir sous quelle condition cette réciproque g peut exister...

 

Injection, surjection, bijection : vers la théorie.
Essayons de voir sous quelle(s) condition(s) une fonction peut avoir une réciproque. Pour cela, nous allons étudier un cas particulier.

Intéressons-nous la fonction f dont la courbe se trouve ci-contre, à droite.

Cette fonction f est définie sur l'intervalle [1 ; 5] .
Par défaut, on dit que f est une fonction de [1 ; 5] sur
]-¥ ; +¥[.
Ce que l'on résume par : 

f : [1 ; 5] ]-¥ ; +¥[

Notre but est de trouver (si possible) une fonction g qui nous fasse faire le chemin inverse de f. C'est ce que l'on appelle une fonction réciproque. Et c'est ce que résume le schéma suivant :

 

Commençons nos investigations sur cette éventuelle réciproque g.
La fonction g doit être un procédé qui a un réel y doit associer un réel x.

Si l'on examine la situation ci-contre, il existe des réels y à qui, on ne peut pas associer de réel x.

C'est par exemple le cas avec y = 4,5. On ne peut lui trouver aucun x.

La fonction g ne sera donc pas définie sur ]-¥ ; +¥[ . Nous allons devoir réduire son ensemble de définition...
Bref, nous allons devoir faire de f une surjection. 

 
Définition : I et J sont deux ensembles de réels.

Dire qu'une fonction    f : I   est une surjection   signifie que    tout réel y de l'ensemble d'arrivée J a au moins un antécédent x par la fonction f

Ainsi avec notre exemple, la fonction   f : [1 ; 5] ]-¥ ; +¥[   n'est pas une surjection 
car  y = 4,5  n'a pas d'antécédent par f.

Par contre, si l'on change l'ensemble d'arrivée...

Amputée, la fonction  f: [1 ; 5] [-1 ; 4,0625] est elle, une surjection.
En effet, tout réel y de l'ensemble d'arrivée
[-1 ; 4,0625]  a au moins un antécédent x par la fonction f.

Nous savons déjà que si cette fonction g existe alors elle sera définie sur [-1 ; 4,0625].
L'étape suivante va consister à définir précisément cette fonction réciproque g.

A tout réel y de l'intervalle [-1 ; 4,0625], la fonction g doit associer un et un seul réel x. Précisons que ce réel x est nécessairement l'antécédent de y.

Examinons la courbe ci-contre :
  • Le réel y = 0,5 a un antécédent x par la fonction f. Il n'y aura donc pas de problème avec lui.
  • Le réel y = 2 a deux antécédents par la fonction f. C'est-à-dire un de trop !

La fonction g ne peut donc pas être définie car il existe des réels y qui ont plus d'un antécédent par f.
La fonction f n'est pas une injection. 

 
Définition : I et J sont deux ensembles de réels.

Dire qu'une fonction    f : I   est une injection   signifie que    tout réel y de l'ensemble d'arrivée J a au plus un antécédent x par la fonction f.

Note : "au plus" signifie qu'il peut ne pas y en avoir... 

Pas exactement ! En fait, nous allons restreindre f de façon à en faire une injection.

Restreignons la fonction f à l'intervalle [2,75 ; 5].

On remarque alors que tout réel y de l'intervalle [-1 ; 4,0625] a un et un seul antécédent x  dans l'intervalle [2,75 ; 5] par la fonction f.

La fonction f est donc devenue une injection de [2,75 ; 5] sur 
[-1 ; 4,0625]
.
Nous pouvons à présent définir la réciproque de la fonction f...

Conclusion : au départ, la fonction f n'était ni surjective, ni injective. Mais à la suite de nos délires, elle l'est devenue. 

La fonction est une bijection de de [2,75 ; 5] sur [-1 ; 4,0625]
C'est-à-dire que tout réel y de l'ensemble d'arrivée
[-1 ; 4,0625] admet un et un seul antécédent x dans l'intervalle [2,75 ; 5].

La fonction réciproque g est donc la fonction définie par :

g : [-1 ; 4,0625]   [2,75 ; 5]
y         x    tel que  y = f(x)

 

L'essentiel : ce qu'il faut retenir...
Après tant de souffrances et tant d'épreuves, voici qu'apparaît ce que nous cherchions.

Définitions :  I et J sont deux ensembles de réels.

Dire qu'une fonction    f : I   est une bijection   signifie que    tout réel y de l'ensemble d'arrivée J a exactement un antécédent x par cette fonction f.

Une fonction qui est injective et surjective, est donc bijective.

Si f est une bijection  alors  sa fonction réciproque est la fonction g définie par :

g : J I
y      x    tel que  y = f(x)

 De plus :

Pour tout réel x de I,

g(f(x)) = x.

Pour tout réel y de J,

f(g(y)) = y.

 

Quelques exemples.
Dans ce paragraphe, nous allons mettre en pratique ce que nous avons vu en théorie. Nous allons nous intéresser aux cas de trois fonctions de référence.
Nous verrons :

La fonction carrée La fonction cube La fonction inverse

Commençons à présent notre tour d'horizon !

La fonction carrée.
La fonction carrée admet-elle une réciproque ? Mais d'abord, est-ce une bijection ?
Mais avant toute chose, définissons la.

La fonction carrée est la fonction f définie par :

Voyons ce qu'il en est avec sa courbe...

La fonction carrée est définie de ]-¥ ; +¥[ dans [0 ; +¥[.

Tout réel y non nul a exactement deux antécédents.
Autrement si la fonction carrée est une surjection sur ces ensembles, elle n'en est pas pour autant une bijection.

Pour lui conférer cette qualité, nous allons devoir la restreindre...

Si l'on restreint la fonction f aux x positif alors elle devient une bijection 
de
[0 ; +¥[ sur [0 ; +¥[.

On peut alors essayer de lui trouver une réciproque car elle en a une !

Tout le monde le sait : la réciproque de la fonction carrée est la fonction racine carrée.

 

La fonction cube.
Contrairement à la fonction carrée, nous n'allons pas être obligé de restreindre la fonction cube pour en faire une bijection.

La fonction cube est la fonction f définie par :

Voyons la manière dont les choses se goupillent avec sa courbe...

Comme le laisse entrevoir la courbe, tout réel y a exactement un antécédent par la fonction cube.

La fonction cube est donc une bijection de de ]-¥ ; +¥[ sur ]-¥ ; +¥[.
On peut donc lui trouver une réciproque... 

Définissons cette réciproque g de la fonction cube. Pour cela, nous devons partir des renseignements dont nous disposons :

  1. la fonction g est définie sur  ]-¥ ; +¥[.
  2. la fonction g associe a tout réel y le x dont y est le cube...

Autrement écrit : 

Cette fonction g porte le nom de fonction racine cubique.
En résumé :


Connaissant la courbe d'une fonction f, il est possible de construire la courbe de sa réciproque g.

On obtient cette dernière en construisant la symétrique de la courbe de la fonction f par rapport à la droite d'équation y = x.

Suivant ce précepte, nous pouvons construire la courbe de la fonction racine cubique g.

 

La fonction inverse.
La fonction inverse est une fonction à deux "branches". Cela pourtant ne l'empêche pas d'être une bijection...

La fonction inverse f est la fonction définie par :

Pour voir si la fonction inverse est une bijection, intéressons-nous à sa courbe.

A voir sa courbe, on comprend que la fonction inverse est bel et bien une bijection de ]-¥ ; 0[ È ]0 ; +¥[ sur lui-même.

Nous pouvons donc légitimement nous poser la question de sa réciproque que nous appellerons g.
Quelle imagination !!! 

La fonction g est définie sur l'intervalle  ]-¥ ; 0[ È ]0 ; +¥[.
Nous allons déterminer l'expression de g(x) par le calcul.

Exploitons le schéma ci-contre, à gauche.
Pour tout réel non nul y :

Autrement dit, la fonction inverse est sa propre réciproque...

On dit que la fonction inverse est une involution, c'est-à-dire qu'elle est sa propre réciproque.
En résumé :

 

Un mot pour terminer : continuité d'une fonction réciproque.
La courbe d'une fonction réciproque s'obtient par symétrie par rapport à la première bissectrice du plan.
La conséquence de cette construction est le théorème suivant :

Théorème : Continuité d'une fonction réciproque.
La fonction   f : I   est une bijection de I sur J.

Si la fonction f est continue sur I   alors   sa fonction réciproque g est continue sur J.  

C'est par exemple le cas avec les réciproques des fonctions carrée et cube pour peu que l'on restreigne la première...


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