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Sur les trois théorèmes qui seront abordés dans cette page, un
seul est enseigné au Lycée : l'inégalité des accroissements finis. Le
théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont vus
qu'au niveau BAC+1.
Ils sont cependant importants. Ils
permettent en effet de démontrer que si la dérivée est positive alors la
fonction est croissante... |
Des théorèmes à la dérive...
Dans cette page, nous aborderons trois théorèmes. En règle générale,
ils sont peu employés.
Leur principal intérêt réside dans le fait qu'ils permettent de prouver
d'autres énoncés. Ils sont une sorte de pierre dans l'édifice différentiel.
Le théorème de Rolle.
Le théorème de Rolle n'est pas au programme du Lycée. Il n'est enseigné qu'au-delà du BAC.
Néanmoins, il est à la base de nombreux autres théorèmes qui eux sont
abordés.
Théorème de Rolle.
f est une fonction continue sur
l'intervalle [a ; b] et aussi dérivable sur ]a ; b[.
| Si f(a)
= f(b) alors |
la dérivée f' s'annule
en un certain point c de l'intervalle ]a ; b[.
Autrement écrit : il existe un réel c dans ]a ; b[ tel
que f'(c) = 0. |
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Remarque : il est dit que f
doit être dérivable sur ]a ; b[. Il faut prendre cette condition comme une
condition nécessaire ou minimale. Si la fonction est dérivable sur
l'intervalle [a ; b], ça marche aussi ! Et c'est même encore mieux !
| Ce que dit le théorème de Rolle :
"Si l'on part d'un niveau et
qu'à la fin, on revient à ce niveau, alors à un certain
moment c, la
dérivée f' s'est annulée."
C'est par exemple le cas avec la courbe ci-contre.
Mais attention : il peut y avoir plus d'un point c.
L'unique chose que nous affirmons, c'est qu'il y en a au moins un !
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La preuve du théorème de Rolle :
Le théorème de Rolle repose en partie sur le théorème liant
extréma et nullité de la dérivée.
Nous savons de la fonction f que
:
- f est continue sur l'intervalle [a ;
b].
- f est seulement dérivable sur ]a ; b[.
- f(a) = f(b)
L'intervalle [a ; b] est ce que l'on appelle un intervalle fermé
borné.
Or si une fonction est continue sur un fermé borné alors elle y
est bornée et y atteint ses bornes.
En clair, f(x) est limité en
bas par un minimum m et
en bas par un maximum M. De
plus :
- f passe par ce minimum m
en c.
- f passe par ce maximum M
en d.
Précision : la fonction f peut très bien atteindre plusieurs
fois son maximum ou non minimum. L'essentiel est qu'elle le fasse...
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Là, nous devons envisager deux cas :
- Premier cas : le minimum et le maximum sont égaux.
Si m
= M alors la fonction f est
constante sur tout l'intervalle [a ; b].
En effet, pour tout réel x de [a ; b], on a alors : f(x)
= m
= M.
Donc f est dérivable sur tout
l'intervalle et de plus, pour tout réel x de [a ; b] :
f'(x) = 0
Donc dans ce premier cas, tous les points de l'intervalle ]a ; b[ conviennent.
D'où le théorème de Rolle dans ce premier cas...
- Second cas : le minimum et le maximum sont différents.
Comme f(a) = f(b)
alors dans le cas où le maximum M
serait atteint en a, nous pouvons dire que le minimum m
ne serait atteint ni en a, ni en b.
Et réciproquement !
Bref, une chose est sûre : un des deux extréma ne peut être atteint que sur l'intervalle ]a ; b[. (Si ce n'est pas le maximum, c'est nécessairement le minimum. Mais ça peut aussi être les deux !).
Donc il existe un point c de l'intervalle ]a ; b[ f où atteint cet extremum.
Comme f est dérivable sur l'intervalle ]a ; b[ et que f
admet en c un maximum ou un minimum alors :
f'(c) = 0
Autrement écrit, ce que nous voulions !
D'où le théorème de Rolle !
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Le théorème des accroissements finis.
Le théorème des accroissements (à ne pas confondre avec l'inégalité du
même nom) est un conséquence du théorème de Rolle. Comme lui, il n'est
enseigné qu'après le BAC.
Ce théorème permet notamment de démontrer que si une dérivée est positive
sur un intervalle alors la fonction est croissante.
Théorème : des accroissements finis.
f est une fonction continue l'intervalle [a ; b].
Si f est dérivable sur
l'intervalle ]a ; b[ alors il existe un point c
de ]a ; b[ tel que f'(c)
=  . |
Remarque : Comme pour le théorème de Rolle,
la condition "f est dérivable sur ]a ;
b[" est une condition minimale ou nécessaire. Si f
est aussi dérivable ailleurs, alors c'est aussi très bien !
| Explicitons ce théorème des accroissements :
"Si une fonction f est continue sur un intervalle [a ; b] et
dérivable sur ]a ; b[ alors à un certain point c
la tangente à la courbe a pour coefficient directeur ."
Là encore attention : nous disons "il existe un
point c". Cela signifie qu'il y
en a au moins un. Mais il peut fort bien y en avoir une multitude... |
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La preuve de ce théorème :
Notre démonstration s'appuiera sur le théorème de Rolle. En fait,
on pourrait presque dire que le théorème des accroissements finis en est
une conséquence.
Nous savons au sujet de la fonction f
que :
- f est continue sur l'intervalle [a ;
b].
- f est seulement dérivable sur ]a ; b[.
Intéressons-nous à la fonction g(x)
= f(x) - .x.
g est
parfaitement définie sur l'intervalle [a ; b].
Calculons g(a) :
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Calculons g(b) :
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Ainsi donc : g(a) = g(b)
Enumérons les propriétés de cette fonction g
:
- Comme f, la fonction g
est continue sur [a ; b].
- Comme f, la fonction g
est dérivable sur ]a ; b[.
- g(a) = 0 = g(b)
Le théorème de Rolle est donc applicable
à la fonction g.
| En vertu de celui-ci, il existe donc un réel c de ]a ; b[ |
tel que |
g'(c) |
= |
0 |
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tel que |
f'(c)
- |
= |
0 |
|
tel que |
f'(c) |
= |
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D'où ce théorème ! |
L'inégalité des accroissements finis.
L'inégalité des accroissements découle du théorème liant signe de la
dérivée et sens de variation. Contrairement aux deux précédents théorèmes,
cette inégalité fait partie des différents programmes de Terminale.
A quoi un tel théorème peut-il bien servir ?
Ce théorème trouve toute son utilité dés que l'on aborde des
fonctions sur lesquelles on
a peu d'informations. Illustration avec ce qui suit :
La fonction f est fort bien connue
avant a = 1. Mais après, on ignore ce
qu'elle devient. Le seul renseignement que l'on ait, est :
"Après a = 1, sa dérivée
f' est toujours comprise entre m
= 0,5
et M = 2."
Si l'on prend un réel b au-delà
de 1, il est impossible de connaître f(b).
La seule chose sure est que f(b)
se situe entre ymin et ymax.
C'est là, la conséquence de l'inégalité des
accroissements finis.
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La preuve de ce théorème :
Pour démontrer le théorème de l'inégalité des accroissements
finis, nous allons utiliser celui liant signe de la dérivée et variation
de la fonction.
Nous avons en fait deux inégalités à prouver. Notre démonstration aura
donc deux phases.
Ce que nous savons sur f :
- f est donc une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Pour tout réel x de l'intervalle I, on a m
f'(x) M
Phase 1 : pour commencer la manoeuvre, intéressons-nous à la fonction g(x) =
f(x) - m.x
Cette fonction est parfaitement définie et dérivable sur cet intervalle
I. Calculons sa dérivée g'.
Pour tout réel x de I :
g'(x) = (f(x)
- m.x)' = f'(x)
- m
Or sur I, f'(x)
est plus grand que m.
Donc pour tout réel x de I, g'(x)
 0.
Donc la fonction g est croissante sur
cet intervalle I.
Ainsi si a et b sont deux réels de cet intervalle tels que a <
b alors
alors
alors |
g(a)
£
g(b)
f(a) - m.a
f(b)
- m.b
m . (b - a)
£ f(b) - f(a) |
D'où la première partie de l'inégalité. Phase
2 : la seconde partie de la démonstration sera exactement du
même tonneau que la première.
Comme g, la fonction h(x)
= f(x)
- M.x est dérivable sur tout
l'intervalle I.
De plus, pour tout réel x de l'intervalle I : h'(x)
= f(x)
- M Comme sur
I, f'(x)
est plus petit que M, alors la
fonction h est décroissante sur tout
l'intervalle I.
Ainsi si a et b sont deux réels de cet intervalle tels que a <
b alors
alors
alors |
h(a)
h(b)
f(a) - M.a
f(b)
- M.b
M . (b - a)
f(b) - f(a) |
D'où la seconde partie de l'inégalité et le
théorème. |
Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par
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