Les primitives ne sont abordées qu'en Terminale. Certaines primitives qui seront traitées dans cette page, sont hors de ce programme... |
Primitives story 2.inverses.
Une petite introduction.
De manière générale, nous savons qu'une primitive de la fonction inverse
est une autre fonction inverse :
.
Ainsi par exemple, une primitive
de est-elle
.
Cette formule est valable pour n'importe quelle fonction inverse... sauf lorsque n = 1 !
En effet, les primitive de
sont de la forme ln(x) + constante.
Connaissant les primitives de ces fonctions inverses, il est possible d'en déterminer d'autres. Illustration avec ce qui suit...
L'essentiel.
La formule de dérivation d'une fonction composée nous permet de d'affirmer que la dérivée de la fonction
est -n ×
.
En envisageant le problème dans l'autre sens, il est possible de connaître certaines primitives.
Théorème : u est une fonction dérivable sur un intervalle I. On a alors que :
|
Ainsi donc, par exemple :
Par contre, pour déterminer une primitive de
, il faut en modifier l'écriture.
En effet, cette fonction n'est pas de la forme .
Nous allons donc faire apparaître cette dernière.
On peut écrire que :
Ici, u(x) = 3.x + 2.
Une primitive de
est donc
× ln(3.x - 2).
Pour déterminer une primitive de
nous devons nous livrer au même travail.
Car là encore, nous n'avons pas quelque chose de la forme
. La seule chose qui est clair est que n = 3.
Ramenons-nous à la forme ci-dessus :
Ici encore, u(x) = 3.x + 2.
Une primitive de
est donc
.
De manière générale, pour une fonction affine :
|
Ici, u(x) = x2 + 1. Ainsi donc :
Une primitive de
est donc × ln( + 1).
Une primitive inattendue : arctangente.
Contrairement à ce que l'on pourrait croire, la primitive d'une fonction rationnelle n'est pas nécessairement un logarithme ou une autre fonction rationnelle comme pourrait laisser le supposer le théorème. C'est parfois quelque chose de plus inattendu. Déterminons une primitive de
.
Il existe une fonction peu connue de tous mais dont la dérivée est une fonction rationnelle : c'est la fonction arctangente dont la dérivée est
.
On peut donc écrire que : Ici u(x) = 2.x + 3.
|
Primitives de n'importe quelle fonction rationnelle.
Avec ce que nous venons de dire, il nous est désormais possible de donner la primitive de n'importe quelle fonction rationnelle. A condition qu'on sache la décomposer...
Enfin, cela nous en avons déjà parlé lorsque nous avons parlé des fonctions rationnelles...
Attardons-nous sur le cas d'un grand classique :
.
Pour déterminer une primitive de cette fraction rationnelle, il faut la décomposer.
Comme son dénominateur peut se factoriser alors il existe deux réels a et b tels que :
Après calculs, on trouve que a = et b = -. Donc :
A partir de là, la conclusion est en vue. Une primitive de sur ]1 ; +[ est :
Trois formes pour une seule primitive mais pour plusieurs utilisations...
D'autres cas.
Les deux formules énoncées précédemment permettent de déterminer des primitives de fonctions inverses particulières, un peu plus exotiques. C'est ce dont nous parlerons dans ce paragraphe.
Ici, u(x) = 1 + e-x.
Donc une primitive de
est -ln(e-x+ 1).
En procédant de manière identique, on établit qu'une primitive de est ln(sin(x)).
De la même façon, on peut s'ingénier à déterminer une primitive de
.
C'est une fonction de la forme
avec ici encore u(x) = cos(x).
Une primitive de cette fonction est donc
.
Une primitive de est donc ln[ ln(x) ].