A partir de la Terminale version Plus... Les primitives ne sont abordées qu'en Terminale. Certaines primitives qui seront traitées dans cette page, sont hors de ce programme...

 

 

 

Une petite introduction.
De manière générale, nous savons qu'une primitive de la fonction inverse est une autre fonction inverse :
Ainsi par exemple, une primitive de est-elle .

Cette formule est valable pour n'importe quelle fonction inverse... sauf lorsque n = 1 !
En effet, les primitive de sont de la forme  ln(x) + constante.

Connaissant les primitives de ces fonctions inverses, il est possible d'en déterminer d'autres. Illustration avec ce qui suit...

 

 

L'essentiel.
La formule de dérivation d'une fonction composée nous permet de d'affirmer que la dérivée de la fonction    est  -n × .
En envisageant le problème dans l'autre sens, il est possible de connaître certaines primitives.

Théorème : u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
On a alors que :
  1. Si la fonction u est strictement positive sur I  alors  toute primitive de la fonction est de la forme :
    ln[u(x)] + constante
     
  2. Si la fonction u est non nulle sur I  alors  toute primitive de la fonction  est de la forme :
      + constante

Ainsi donc, par exemple :

Une primitive inattendue : arctangente.
Contrairement à ce que l'on pourrait croire, la primitive d'une fonction rationnelle n'est pas nécessairement un logarithme ou une autre fonction rationnelle comme pourrait laisser le supposer le théorème. C'est parfois quelque chose de plus inattendu.

Déterminons une primitive de .
A priori, cette fonction n'évoque aucune forme connue. Il va donc nous falloir innover.

Il existe une fonction peu connue de tous mais dont la dérivée est une fonction rationnelle : c'est la fonction arctangente dont la dérivée est .
Par conséquent, la dérivée de arctan(u(x)) est  u'(x) × .
Nous allons essayer de faire apparaître cette forme dans notre fonction.

On peut donc écrire que :

Ici  u(x) = 2.x + 3.
Nous sommes désormais en position de conclure.

Conclusion : une primitive de la fonction    est  arctan(2.x + 3).

De façon générale, toutes les fonctions rationnelles de la forme    dont le discriminant est négatif ont une primitive en arctangente.

 

 

Primitives de n'importe quelle fonction rationnelle.
Avec ce que nous venons de dire, il nous est désormais possible de donner la primitive de n'importe quelle fonction rationnelle. A condition qu'on sache la décomposer...

Enfin, cela nous en avons déjà parlé lorsque nous avons parlé des fonctions rationnelles...

Attardons-nous sur le cas d'un grand classique : .
Pour déterminer une primitive de cette fraction rationnelle, il faut la décomposer.
Comme son dénominateur peut se factoriser alors il existe deux réels a et b tels que :

Après calculs, on trouve que  a =   et  b = -. Donc :

A partir de là, la conclusion est en vue. Une primitive de   sur ]1 ; +[ est :

Trois formes pour une seule primitive mais pour plusieurs utilisations...

 

 

D'autres cas.
Les deux formules énoncées précédemment permettent de déterminer des primitives de fonctions inverses particulières, un peu plus exotiques. C'est ce dont nous parlerons dans ce paragraphe.


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