L'intégration (ou la recherche de primitives) par la technique du changement de variables est hors de tout programme. Elle est du niveau BAC+1... C'est donc une bonne raison d'en parler !

Des primitives et des intégrales :
par changement de variable.

Il existe de multiples méthodes permettant de déterminer des primitives ou de calculer des primitives. La plus simple est de connaître par coeur ses dérivées et de se débrouiller avec. On peut aussi se risquer à l'intégration par parties. Une troisième méthode est celle du changement de variable.
Elle consiste à changer la nature de l'intégrale en quelque chose de plus sympathique. C'est d'ailleurs ainsi que l'on peut trouver une primitive aux fonctions 1/sin(x) et 1/cos(x).
Bien qu'elle soit hors programme, cette méthode n'en demeure pas moins relativement facile à maîtriser et redoutablement efficace.

Le changement en théorie.
La technique du changement de variable permet de simplifier le calcul de certaines intégrales. Elle repose sur la constatation suivante.

Théorème : si j est une bijection dérivable  de [a ; b] sur [a ; b] tel que j(a) = a   et   j(b) = bet dont la dérivée est continue  alors pour toute fonction f continue sur [a ; b],

Cela peut paraître étonnant mais c'est pourtant là une réalité vraie ! Pour nous en assurer, démontrons ce théorème !

Voyons tout de suite sur un exemple cette si fabuleuse technique ! Pour cela, calculons  . dx.

La première chose à dire est que la fonction est parfaitement définie et continue sur l'intervalle [0 ; 1]. Sa courbe étant un quart de cercle, cette intégrale nous donnera donc l'aire d'un quart de disque de rayon 1 c'est-à-dire /4. Mais vérifions plutôt cela par le calcul !

Sous cette forme, cette intégrale est impossible à calculer. Nous procédons donc au changement de variable  x = sin(t).

La fonction sinus est une bijection de [0 ; /2] sur [0 ; 1]. Elle y est de plus dérivable et sa dérivée cosinus y est continue. Pour finir, on a bien que : sin(0) = 0   et   sin(/2) = 1. Nous venons donc de choisir notre fonction j.

On peut donc écrire que :

D'où ce que nous avancions ! Comme quoi, c'est vachement puissant !
Toute la réussite de la manoeuvre réside dans le choix du changement de variable à effectuer ! Car tous ne marchent pas ! Et suivant les intégrales en questions, ils changent...

Quelques remarques sur notre théorème :

• Pourquoi la dérivée de j doit-elle être continue ?
  La réponse à cette question est fort simple : c'est simplement pour pouvoir intégrer j'(t) . f[j(t)].
   
• Une croissance implicite !
  Dans le théorème, nous avons posé comme condition que j devait être une bijection dérivable et à dérivée continue de [a ; b] sur [a ; b]. Nous avons aussi ajouté que les images par j des bornes du premier intervalle devaient être celles du second.
  Compte-tenu de ce que nous savons des bijections, nous aurions pu nous aussi dire : j est une bijection croissante et dérivable à dérivée continue de [a ; b] sur [a ; b]. Cela aurait suffit !
   
• Notre théorème est extrêmement restrictif !
  En effet, nous imposons implicitement à la fonction j d'être croissante.
  Or un changement de variable peut très bien se concevoir avec une j décroissante ! L'égalité deviendrait alors :

  

  Cela marche exactement pareil ! Seule différence : les bornes de l'intégrale qui sont interverties par j. En effet :

  j(a) = a   et   j(b) = b

  En fait, notre théorème n'est en fait qu'une version édulcorée et adaptée de ce qui suit :

  Théorème : le vrai changement de variable. I et J sont deux intervalles.  Si  j : I ® J  est une fonction de classe C1 (c'est-à-dire qu'elle est dérivable et à dérivée continue sur I)  alors  pour tout fonction f continue sur J :

Le changement dans la pratique.
La technique du changement de variable permet de calculer certaines intégrales et de déterminer certaines primitives. C'est en particulier le cas avec les fonctions   et .
Dans les deux cas, nous nous recourrons aux propriétés des sinus, cosinus et autre tangente. Voyons-cela dans le détail.

	Une primitive pour 1/sin(x) Par défaut, la fonction est définie sur l'intervalle ]0 ; [. C'est sur ce dernier que nous allons essayer de l'intégrer... Comme la fonction sinus, elle est impaire et 2-périodique. Mais comme la fonction tangente, elle n'est pas définie partout... La première chose à dire que admet des primitives sur ]0 ; [ car elle est y définie et continue. Pour déterminer une primitive à notre fonction, nous allons nous intéresser à son intégrale sur une partie de l'intervalle ]0 ; [. Soit a un réel quelconque mais fixé de cet intervalle. Pour tout réel X de l'intervalle ]0 ; [, on peut écrire que : Conclusion : La fonction admet des primitives sur l'intervalle ]0 ; [. Elles sont toutes de la forme : Note : en dehors de ]0 ; [, toute primitive de 1/sin(x) est de la forme  ln |tan(x/2)| + constante.

	Une primitive pour 1/cos(x) Par défaut, la fonction est définie sur l'intervalle ]-/2 ; /2[. C'est sur ce dernier que nous allons essayer de l'intégrer... A l'instar du cosinus, son inverse est paire et 2-périodique. De plus, elle existe là où la tangente vit... Pour commencer, remarquons que admet des primitives sur ]-/2 ; /2[ car elle est continue. Notre quête primitive a donc un sens... Pour déterminer une primitive à notre fonction, nous allons nous intéresser à son intégrale entre 0 et un réel X. Nous utiliserons également ce qui a été fait pour la fonction . Pour tout réel X de l'intervalle ]-/2 ; /2[, on peut écrire que : Conclusion : La fonction admet des primitives sur l'intervalle ]-/2 ; /2[. Elles sont toutes de la forme : Note : hors de ]-/2 ; /2[, toute primitive de 1/cos(x) est aussi de la forme  ln |tan(/4 + x/2)| + constante.

Des primitives en plus : celles de .

La fonction est définie et continue sur +. Elle y est partout dérivable sauf en 0 ! Mais cela ne nous sera que peu utile vu que nous allons regarder vers le haut. Pour trouver la forme générale des primitives de , nous allons nous intéresser à l'intégrale  dx.

Sous cette forme, l'intégrale est incalculable pour nos simples esprits. Nous allons donc nous livrer au changement de variable  x = j(t) = t²   c'est-à-dire  t = .
Comme x varie de 0 à X  alors  t ira de 0 à . Ainsi j est une bijection de [0 ; ] sur [0 ; X].
On peut donc écrire que :

Conclusion : la fonction admet des primitives sur l'intervalle [0 ; +[. Chacune de celles-ci est de la forme : F(x) = 2 . . ( - 1) + constante.

Il existe bien d'autres exemples d'utilisations du changement de variable mais tout cela est une autre histoire...

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
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