A partir de la Terminale Les primitives ne sont abordées dans toutes les sections qu'en Terminale. Le principal usage qui en est fait, est le calcul d'intégrales.
Dans le présent chapitre, nous outrepasserons le programme de Terminale. Le dernier paragraphe est en particulier largement hors-programme. C'est d'ailleurs qu'il est là !

Déterminer une primitive, c'est un peu comme chercher l'origine d'une dérivée.
Dans la présente page, nous définirons la notion de primitive puis nous aborderons celles des fonction de références et de certaines autres.
Le programme peut paraître peu ambitieux. Il est néanmoins copieux...

 

 

Définition primitive.
Chercher la primitive d'une fonction, c'est en quelque sorte dériver à l'envers...

Définition : f est une fonction continue sur un intervalle I.

Dire que la fonction F : I ® R est une primitive de la fonction f   signifie que :

  • F est dérivable sur l'intervalle I.
  • Pour tout réel x de cet intervalle I,   F'(x) = f(x)

Autrement écrit :

F est une primitive de f    équivaut à   f est la dérivée de F.  

Pour bien saisir ce dont il s'agit, examinons quelques exemples.

Le truc à retenir : On prouve qu'une fonction F est la primitive d'une fonction f en démontrant que f est la dérivée de F.
C'est ce que nous avons fait avec nos deux exemples.

La primitive est tellement liée à la dérivation qu'elle en a adopté les qualités et les défauts. Ainsi :

Car intégrer (comprenez déterminer une primitive) ou "primitiver" une fonction, ce n'est rien d'autre que dériver à l'envers...

Remarque : à nous lire, on pourrait croire que seules les fonctions continues ont des primitives. La vérité est qu'elles ne sont pas les seules à en avoir.
Par exemple, intéressons-nous à la fonction f définie par :
  • Si x est un réel non nul   alors   f(x) = .
  • f(0) = 0
Elle est continue partout sauf en x = 0.
Pourtant elle admet une primitive en la personne de la fonction F définie par :
  • F(0) = 0.
  • Pour tout réel x non nul,   F(x) = x2 .

 

 

Primitives d'une même fonction.
Une fonction a au mieux une dérivée. Mais il en va différemment pour les primitives.
En effet, nous avons vu que les fonctions  F(x) = x2 + x  et  F1(x) = x2 + x - 2   étaient deux primitives de la fonction   f(x) = 2.x + 1.

Une fonction continue admet donc au moins deux primitives. Nous pourrions essayer de les compter. Mais ce serait sans doute un travail sans fin. Nous allons plutôt essayer de voir ce que deux primitives d'une même fonction ont en commun.

Ce que deux primitives d'une même fonction ont en commun.

Soient F et G deux primitives d'une même fonction f sur un intervalle I.
Essayons de déterminer ce qu'elles ont de commun.

Comme F est une primitive de f  alors  F est dérivable sur I et  F' = f.
De même, comme G est aussi une primitive de f   alors  G est dérivable sur I et G' = f.

Intéressons-nous à la fonction  F - G.
Cette fonction est dérivable sur l'intervalle. Calculons sa dérivée.
Pour tout réel x de l'intervalle I, on a donc :

(F - G)'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0

Comme sa dérivée est nulle alors la fonction  F - G  est constante sur l'intervalle I.
Donc Il existe une constante k tel que  pour tout réel x de I   F(x) - G(x) = k.
Autrement écrit : 

Pour tout réel x de l'intervalle I,  F(x) = G(x) + k.

Conclusion : deux primitives F et G d'une même fonction f sur un intervalle diffèrent d'une constante k.
C'est-à-dire que pour tout réel x de I, on a  F(x) = G(x) + k.

Réciproquement, il est facile de démontrer que si F est une primitive de la fonction f  alors la fonction F + k est une autre primitive de f.
Ce qui nous donne en conclusion le théorème suivant ;

Théorème : F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle I.

Dire que G est une primitive de f sur I  équivaut à dire qu'  il existe une constante k tel que G =  F + k.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante k.

 

 

Primitives des fonctions de référence.
Nous l'avons déjà dit : intégrer (ou "primitiver"), c'est la dérivation à l'envers.
Les primitives des fonctions de référence se déduisent donc des différentes formules de dérivation.

Note : pour montrer qu'une fonction F est une primitive de la fonction f, il suffit simplement de démontrer que la dérivée F' est égale à f.

Les fonctions sont classées en trois catégories :

 Puissances     Inverses et racines     Trigonométriques, logarithme et exponentielle

Pour chaque cas, nous indiquerons l'intervalle sur lequel la primitive est valable.
Il s'agit d'ailleurs presque toujours de l'ensemble de définition de la fonction à intégrer...
 

Fonctions puissances
Fonction Primitive  Ensemble de définition Annexe
0 k ]- ; +[ 0 et 3 sont deux primitives de 0.
1 x + k ]- ; +[ Les primitives des fonction constantes sont les fonctions affines. 
x ]- ; +[  
x2 ]- ; +[  
x3   ]- ; +[  
xn   ]- ; +[  

 
 

Fonctions inverses et racine
Fonction Primitive  Ensemble de définition Annexe
ln(x) + k ]0 ; +[ Aucune fonction n'a pour dérivée 1/x.
La primitive de 1/x est une nouvelle fonction que l'on baptise logarithme.
]- ; 0[ È ]0 ; +[  
]- ; 0[ È ]0 ; +[  
]- ; 0[ È ]0 ; +[  
  . x . + k [0 ; +[ Cette primitive est de la forme  x1,5.
La preuve
2. + k ]0 ; +[ C'est la stricte conséquence de dérivée de la fonction racine.

 
 

Fonctions trigonométriques, logarithme et exponentielle
Fonction Primitive  Ensemble de définition Annexe
sin(x) -cos(x) ]- ; +[  Quel...
cos(x) sin(x) ]- ; +[ ...couple !
tan(x) - ln(cos(x)) ]-/2 ; /2[ La preuve
ln(x) x . ln(x) - x ]0 ; +[ La preuve
ex ex ]- ; +[ Une histoire de dérivée...
xa  .xa+1  ]0 ; +[ Une histoire de dérivée...
ax   . ax ]- ; +[ Une histoire de dérivée...
Nous ne l'avons pas mise mais pour être rigoureux, il faudrait rajouter à l'expression de chaque primitive :  + constante k

 

 

Hors de tout programme ! D'autres primitives plus "exotiques".
Pour conclure cette page, nous allons aborder les primitives de fonctions plus exotiques : les réciproques des trigonométriques. Elles sont toutes hors programme : voilà une bonne raison d'en parler
Voici donc les primitives des fonctions arcsinus, arccosinus, arctangente ainsi que certaines autres qui en dérivent...

Fonctions trigonométriques réciproques et autres
Fonction Primitive  Ensemble de définition Annexe
arcsin(x) ]-1 ; 1[ Autre expression de la primitive :
/2 - arccos(x).
Simple conséquence de la dérivation
arctan(x) ]- ; +[ Simple conséquence de la dérivation
arcsin(x) x . arcsin(x) + ]-1 ; 1[ La preuve
arccos(x) x . arccos(x) - ]-1 ; 1[ La preuve
arctan(x) x . arctan(x) - . ln(x2 + 1) ]- ; +[ La preuve
Nous ne l'avons pas mise mais pour être rigoureux, il faudrait rajouter à l'expression de chaque primitive :  + constante k
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