Première époque : une approche...
En elle-même, la racine n-ième d'un nombre positif n'est pas une nouveauté.
En effet, nous connaissons déjà la racine carrée qui est une racine 2-ième... Expliquons tout cela !

La définition que nous connaissons de la racine est la suivante : La racine carrée d'un nombre a est le nombre positif b dont le carré est égal à a. Mais nous aurions pu tout aussi bien définir la racine carrée à partir de la puissance réelle. En effet, la fonction f2(x) = x2  est une bijection de ]0 ; +[ sur ]0 ; +[. Donc tout réel strictement positif y0 a un seul antécédent x0 dans ]0 ; +[ par cette fonction f2. Ainsi :y0 = f2(x0) = (x0)2 Autrement écrit, ce réel x0 est la racine carrée de y0.

Une autre définition de la racine carrée pourrait donc être : La racine carrée du réel strictement positif a est le réel strictement positif b qui est son antécédent par la fonction f2. On peut alors parler de racine 2-ième.

Seconde époque : la définition.
Et bien ce qui est faisable avec f₂, l'est pour n'importe quelle autre fonction f_a.
De la même façon que l'on a défini la racine carrée ou racine 2ième, on peut définir la racine a-ième d'un nombre strictement positif.
Ceci car la fonction  f_a est une bijection de sur  ]0 ; +[ sur ]0 ; +[.

Définition : la racine a-ième du réel strictement positif a est le réel strictement positif b qui est son antécédent par la fonction puissance fa. Autrement écrit :a = fa(b) = (b)a = ea . ln(b) Cette racine de a pourrait être notée  b = .

Ainsi par exemple :

• est la racine troisième (ou 3-ième) de 5.
  C'est le seul réel positif qui élevé à la puissance 3 donne 5. Autrement écrit : ()³ = 5.
  On dit aussi que est la racine cubique de 5.
  Pour mémoire, nous avons déjà été amené à parler de racine cubique : c'était lorsque nous cherchions une réciproque à la fonction cube...
   
• est la racine (-3)-ième de de 5.
  C'est le seul réel positif qui élevé à la puissance -3 donne 5. Ainsi :  ()^-3 = 5.
  De la même façon que  x^-a = , on démontre que :  =

Nous aurions pu aussi parler de :

• qui est la racine (2,1)-ième de 5 et qui vérifie l'égalité :  ()^2,1 = 5.
   
• qui est la racine (2/7)-ième de 5 et qui vérifie l'égalité :  ()^2/7 = 5.

Ces deux nombres assez exotiques existent. Mais ils ne sont que peu employés !
En Terminale, on se contente des racines n-ième où n est un entier naturel comme .

Troisième époque : Au-delà de la racine nième.
Tout ce que nous avons dit est bien beau mais est peu parlant ! Essayons de débrouissailler le problème.

Or deux réels strictement positifs qui ont même logarithme népérien sont égaux. On peut donc en conclure que :

y^1/a = x

Conclusions : nous pouvons désormais affirmer deux choses : Considérer la racine d'un réel positif a revient à l'élever à la puissance 1/a. Autrement écrit : = a1/a    Les fonctions puissances fa et f1/a sont les réciproques l'une de l'autre... Deux choses que l'on retrouve dans la racine carrée...

Une racine a-ième est donc avant tout une puissance. Nous pouvons donc écrire que :

• = 5^1/3.
  Cette chose était prévisible. En effet, n a-t-on pas :  ( 5^1/3 )³ = 5¹.
   
• = 5^1/(-3).
   
• = 5^1/2,1.
   
• = 5^7/2.
  En effet, l'inverse de 2/7 est 7/2...

Car c'est ainsi que vont les racines a-ièmes...