Calculons à présent u₁ et u₃₄.
Comme (u_n) est arithmétique de raison 3, on peut écrire que :  u₂₀ = u₁ + (20 - 1) × r.
Donc :  u₁ = u₂₀ - 19 × r = 35 - 19 × 3 = -22.

De même, on peut écrire que :   u₃₄ = u₂₀ + (34 - 20) × r = 35 + 14 × 3 = 77. 

v₁ = v₀ × q        et       v₂ = v₀ × q² 

L'équation de départ devient donc :

Nous devons donc résoudre une équation du second degré dont l'inconnue est q. Calculons-en le discriminant :

D = (1)² - 4 × (-6) = 25 = 5²

L'équation a donc deux solutions  q₁ = = -3   et   q₂ = = 2.

Or une suite ne peut avoir qu'une seule raison. Entre -3 et 2, il y a donc un candidat de trop !

Cependant, nous savons que la suite est décroissante.
Si la raison de cette suite géométrique était -3, (v_n) ne serait pas monotone : un coup ce serait positif, un coup ce serait négatif !
La raison de cette suite est donc nécessairement 2.

• La propriété est vraie au premier rang : "un premier domino tombe..."
  Vérifions que la propriété est vraie au rang n = 0.
    

  Nous savons que :		De plus :
  w0 = 0		= 0

  Au rang n = 0, nous avons donc : w_n = 0 =
  La formule est donc vraie au premier rang. Un premier domino tombe...
    

• Le principe de propagation ou de récurrence : "si un domino tombe alors le suivant aussi..."
  Supposons que la formule soit vraie au rang n.
  Nous supposons donc que  w_n = .
  Nous allons prouver qu'alors la formule est aussi vraie au rang suivant n + 1.

  On peut écrire :

  

  Donc la formule est vraie au rang n + 1.

Conclusion : Pour tout entier naturel n,  w_n = .

Pour le savoir, nous allons étudier le signe de la différence   w_n+1 -  w_n.
Comme nous connaissons désormais ce que w_n vaut en fonction de n, cela facilitera notre travail !

Pour tout entier naturel n, on peut écrire que :

Comme n est un entier naturel alors les facteurs  n + 2  et  n + 1  sont strictement positifs.

Conclusion : la suite (w_n) est croissante.

Jan U. et Richard V. participent à une course cycliste de 24 kilomètres. Ils partent ensemble.
Jan U. parcourt le premier kilomètre en 1 minute et 28 secondes.
Richard V. met lui 5 secondes de moins.

Mais au fil des kilomètres et malgré ce qu'ils ont pris en plus de leurs vélos, les performances de nos deux champions se dégradent...

• Tous les kilomètres, le temps de parcours kilométrique de Jan U. augmente de 1,5 seconde.
• Le temps de parcours kilométrique de Richard V. augmente de 2% par rapport à celui du kilomètre précédent.

Lequel de ces deux champions arrivera en premier ?

En toute chose, il faut être méthodique. Analysons l'énoncé.
Les seules indications que nous ayons, portent sur des temps des parcours kilométriques, c'est-à-dire sur des temps mis pour faire un kilomètre.
Pour obtenir le temps total, il faudra donc additionner tous ces temps kilométriques.
Voyons ce qu'il en est pour chacun de nos deux champions.

• Jan U.
  On appelle u_n le temps en seconde mis par Jan U pour parcourir le n-ième kilomètre.
  Jan U avale le premier kilomètre en 88 secondes donc  u₁ = 88.
  Pour le second kilomètre, il met 1,5s en plus donc  u₂ = u₁ + 1,5 = 89,5.
  Pour le troisième kilomètre, son temps augmente encore de 1,5s donc   u₃ = u₂ + 1,5 = 91.....Pour le n-ème kilomètre, il mettra 1,5s de plus que le précédent donc   u_n = u_n-1 + 1,5

  (u_n) est donc une suite arithmétique de premier terme  u₁ = 88  et de raison  r = 1,5.
  Ainsi pour tout entier naturel n,     

  u_n = u₁ + r × (n - 1) = 88 + 1,5 × (n - 1).

  Le temps total U₂₄ est donc :

  

• Richard V.
  On appelle v_n le temps en seconde mis par Richard V. pour parcourir le n-ième kilomètre.
  Le premier kilomètre est parcouru en  88 - 5 secondes donc  v₁ = 83.
  Pour le second kilomètre, son temps augmente de 2%. Donc :

  u₂ = u₁ + 2% de u₁ = u₁ + 0,02 × u₁ = 1,02 × u₁

  Car prendre 2% d'une quantité revient à la multiplier par 0,02.
  Car augmenter une quantité de 2% revient à la multiplier par 1,02

  Pour le troisième kilomètre, son temps augmente encore de 2% mais par rapport au kilomètre précédent, c'est-à-dire par rapport à u₂. Donc   u₃ = 1,02 × u₂.

  ....Pour le n-ème kilomètre, il mettra 2% de temps en plus par rapport au kilomètre précédent.
  Donc   u_n = 1,02 × u_n-1.

  (u_n) est donc une suite géométrique de premier terme  u₁ = 83  et de raison  q = 1,02.
  Ainsi pour tout entier naturel n,     

  u_n = u₁ . q^n-1 = 83 × (1,02)^n-1

  Le temps total V₂₄ est donc :

  

Conclusion : Richard V. l'emportera d'à peine une seconde sur Jan U.
Car après tout, quoiqu'ils prennent et malgré ce que les bonnes âmes médiatiques et hypocrites en disent, ils n'en demeurent pas moins de grands champions...