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Les fonctions trigonométriques demeurent l'exclusivité des sections scientifiques. Les plupart des formules qui seront démontrées dans cette page sont abordées en Première Scientifique. D'autres sont hors de tout programme. Voilà, pourquoi nous en parlerons... |
Un mot d'introduction.
Les fonctions trigonométriques sont à notre époque de veilles connaissances de Seconde. Malgré tout ce qui a été fait, nous ne connaissons pas grand chose sur celles-ci. Ce chapitre va nous donner l'occasion d'aller plus loin, d'en apprendre plus sur les propriétés des sinus, cosinus et autres tangentes.
Car si ces dernières ne laissent pas passer des sommes, des différences ou des produits, elles n'en font pas pour autant n'importe quoi. Ce sont ces histoires que nous allons vous raconter.
Outre cette présente page, Trigonométrie : Formules 1 comporte un
formulaire récapitulant toutes les formules abordées
ainsi qu'un module d'apprentissage.
Bref tout pour aller plus loin et surtout à partir d'ailleurs...
Cosinus, sinus et tangente d'une somme ou d'une différence.
Toutes les formules que nous allons établir repose sur une seule d'entre elles. Elle constituera le pierre angulaire de notre offensive. C'est d'elle que d'où découlera et c'est par elle que nous commenceront.
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Après nous être occupé du cosinus, il nous est désormais possible de nous prononcer sur les sinus et tangentes d'une somme ou d'une différence. Ainsi :
Pour ce qui est de la somme.
A partir de la somme, on peut alors s'attaquer au sinus de la différence.
sin(a - b) = sin(a + (-b)) | = sin(a) . cos(-b) + cos(a) . sin(-b) |
= sin(a) . cos(b) - cos(a) . sin(b) |
Conclusion : Si a et b sont deux réels alors :
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Pour ce qui est de la somme.
Sachant que la tangente est une fonction impaire, la différence n'est plus alors qu'une affaire de moins.
Conclusion : Si a et b sont deux réels différents de ![]() ![]()
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A partir de ces trois doublettes de formules, on en établit d'autres concernant le double d'un angle. Ainsi :
cos(2.a) = [cos(a)]2 - [sin(a)]2 = 2 . [cos(a)]2 - 1 = 1 - 2 . [sin(a)]2 =
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sin(2.a) = 2. cos(a) . sin(a) =
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tan(2.a) =
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Somme, différence, produit de cosinus, sinus ou tangentes... et réciproquement !
Le but du jeu est d'exprimer un produit de sinus ou de cosinus de manière plus simple.
Pour remplir cette impossible nouvelle mission, nous n'aurons pas à chercher bien loin. Nous allons simplement nous servir de ce que nous avons fait au premier paragraphe.
Dans ce qui suit, a et b seront toujours deux réels quelconques.
cos(a + b) = cos(a) . cos(b) - sin(a) . sin(b) | ![]() |
cos(a) . cos(b) = cos(a + b) + sin(a) . sin(b) | ![]() |
cos(a - b) = cos(a) . cos(b) + sin(a) . sin(b) | ![]() |
cos(a) . cos(b) = cos(a - b) - sin(a) . sin(b) | |
2 . cos(a) . cos(b) = cos(a + b) + cos(a - b) |
Ainsi on peut conclure que :
Conclusion : si
a et b
sont deux réels quelconques alors :
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Et puis, on peut essayer voir les choses à l'envers. Autrement écrit, on peut chercher à exprimer une somme de cosinus à partir d'un produit...
p et q étant deux réels quelconques, à quoi est donc égal cos(p) + cos(q) ?
Et utilisant la formule précédente, il s'agit donc de trouver deux réels a et b tels que :
2 . cos(a) . cos(b) = cos(a + b) + cos(a - b) = cos(p) + cos(q)
Autrement dit :
a + b = p et a - b = q
A l'issue d'interminables calculs, on arrive à :
a = et b =
On en déduit alors la formule recherchée.
Conclusion : si p et q sont deux réels quelconques alors :
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cos(a + b) = cos(a) . cos(b) - sin(a) . sin(b) |
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sin(a) . sin(b) = cos(a) . cos(b) - cos(a + b) |
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cos(a - b) = cos(a) . cos(b) + sin(a) . sin(b) |
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sin(a) . sin(b) = cos(a - b) - cos(a) . cos(b) | |
2 . sin(a) . sin(b) = cos(a - b) - cos(a + b) |
Ainsi on peut conclure que :
Conclusion : si a et b sont deux réels quelconques alors :
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Comme précédemment, on peut essayer de regarder la formule à l'envers. Autrement écrit, on peut chercher à quoi est égal une différence de cosinus.
La manière de procéder est à peu prés la même ! A l'issue d'infinissables calculs, on arrive à :
Conclusion : si p et q sont deux réels quelconques alors :
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sin(a + b) = sin(a) . cos(b) + cos(a) . sin(b) | ![]() |
sin(a) . cos(b) = sin(a + b) - cos(a) . sin(b) |
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sin(a - b) = sin(a) . cos(b) - cos(a) . sin(b) | ![]() |
sin(a) . cos(b) = sin(a - b) + cos(a) . sin(b) | |
2 . sin(a) . cos(b) = sin(a + b) + sin(a - b) |
Ainsi on peut conclure que :
Conclusion : si a et b sont deux réels quelconques alors :
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Et puis, comme pour les deux cas d'avant, on peut essayer de voir cette formule dans l'autre sens. On s'intéresse alors à la somme de deux sinus.
La démarche est la même donc nous laisserons les inachevables calculs à notre vénéré lecteur !
Et puis à partir de la formule obtenue pour la somme, sachant que sin(p) - sin(q) = sin(p) + sin(-q), on en déduit alors une autre sur la différence de deux sinus.
Conclusion : si p et q sont deux réels quelconques alors :
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Dans ce que nous venons de faire, nous avons parlé de sommes et de différences de cosinus ou de sinus, mais nous n'avons rien de la tangente. Nous allons réparer cet oubli sur le champ !
Soient donc p et q deux réels non congrus à
/2 modulo
, c'est-à-dire deux réels pour lesquels la tangente existe !
On peut alors écrire que :
Nous venons d'établir deux formules : une pour la somme de deux tangentes et une autre pour la différence car la tangente est une fonction impaire.
Conclusion : si p et q sont deux réels
non congrus à
![]() ![]()
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Ces dernières formules avec celles qui les ont précédées constituent une bibliothèque sur laquelle il sera possible de s'appuyer pour établir de nouveaux énoncés, pour aller plus loin, bien au-delà de la Seconde ou de la simple trigonmétrie....