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L'arithmétique commence à être abordée en
Troisième. Puis elle s'estompe jusqu'en Terminale. Elle demeure alors
l'apanage des scientifiques spécialité maths. Elle préfigure cependant
les structures algébriques qui seront abordées après le Bac. Cette page s'adresse à tous les élèves de TS spé maths et à tous les curieux qui veulent aller plus loin, au-delà de ![]() Pour en savoir plus sur certains sujets, déplacer votre curseur sur le logo ![]() |
Une introduction au-delà de .
est une vielle connaissance. C'est
en effet cet ensemble des entiers relatifs que nous connaissons depuis la cinquième.
Il renferme tous les entiers qu'ils soient négatifs, positifs ou nul.
Mais d'un point de vue algébrique,
est plus que tout cela !
D'un point de vue algébrique,
est un ensemble sur lequel ont été définies deux Lois de
Composition Internes, c'est-à-dire deux opérations à partir
desquelles tout se fait !
Dire qu'un nombre e est un élément
neutre pour l'opération + signifie que pour tout nombre x, on a : e + x = x + e = x. L'élément neutre de l'addition est 0 alors que celui de la multiplication est 1. L'élement neutre pour la composition des fonctions est la fonction Id(x) = x. |
Autrement dit : Pour tout nombre a, il existe un nombre b tel que a + b = 0. |
C'est-à-dire que si a, b et c sont trois nombres alors :
|
Ce sont là des considérations algébriques qui ne prennent leurs sens
qu'après le Bac. Mais l'arithmétique et l'ensemble
préfigure ce que sont les structures algébriques...
Remarque : Peut-être avez-vous
compris qu'il fallait que l'élément neutre de la multiplication 1 fasse
partie de ![]() ![]() |
Autre remarque : Seuls deux
entiers relatifs peuvent être inversés dans ![]() Quand dans la suite, nous évoquerons les inversibles de ![]() |
Le truc en plus :
Beaucoup d'ensembles sont des anneaux. Vous en connaissez d'ailleurs un
certain nombre ! Parmi eux, il y a l'ensemble des rationnels ![]() ![]() ![]() ![]() Ce sont des anneaux pour les mêmes lois de composition que ![]() Pourtant ils ont un truc un plus : dans chacun d'entre eux tout nombre non nul a un inverse pour la multiplication. Cette propriété fait d'eux des corps. Parmi les autres anneaux que nous évoquerons dans la
suite, il y a aussi Dans le même ordre d'idée on peut aussi évoquer le
cas de |
Des notions au-delà de .
Nous l'avons dit et redit :
préfigure ce que sont les structures algébriques. Pour celles-ci, on définit
des notions qui se retrouvent confondues dans l'anneau
.
Nous allons à présent les évoquer. A cette occasion, nous bouleverserons
certaines idées reçues.
Définition : Dire que le nombre a
divise le nombre b signifie qu'il existe un nombre c
tel que : |
Ainsi 7 divise 42 car 42 = 7 × 6.
De même -7 est un autre diviseur de 42 car 42
= (-7) × (-6).
Dans <,
un diviseur, un dividende ou leur quotient peuvent être positifs, négatifs
voire nul..
Définition : Dire que deux nombres a et b sont associés signifie qu'ils se divisent mutuellement. |
Dans , deux
nombres distincts sont associés lorsqu'ils sont opposés.
C'est par exemple le cas du couple 23 et -23. En effet : -23 = 23 ×
(-1) et 23 = (-23) × (-1)
Note : à l'image de ce qui se passe dans ,
on montre facilement
que si deux nombres sont associés alors on passe de l'un à l'autre en le multipliant par un inversible. Dans
, il s'agit de -1 ou de 1.
Soient a et b deux nombres associés. Ils se divisent donc mutuellement.
![]() Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.
Conclusion : si deux nombres sont associés alors on passe de l'un à l'autre en le multpliant par un inversible.
|
Définition : Dire que le nombre a est premier signifie que s'il divise un produit b.c alors il divise b ou il divise c. |
Par exemple, 7 est un nombre premier. En effet, quelque soit le produit
divisible par 7 que l'on prenne, il en divisera toujours l'un des facteurs.
Essayez 14, 35 ou -42...
De même, -7 est également un autre nombre premier !
Par contre, 6 n'est pas premier. En effet, bien que 6 divise 24 = 3 ×
8 , il ne divise ni 3, ni 8.
Remarque : les nombres premiers peuvent être positifs ou négatifs. On considère que les nombres inversibles ne peuvent pas être considérés comme premier. Il en va de même pour 0.
Définition : Dire que le nombre a est premier signifie que les seuls nombres le divisant sont ceux que l'on peut inverser et ceux qui lui sont associés. |
Si nous avions travaillé dans l'ensemble des entiers naturels , il aurait
suffi de dire :
Par exemple, 31 et -31 sont irréductibles car ses seuls diviseurs sont les inversibles -1 et 1 ainsi que les deux nombres qui lui est associé : -31 et lui-même !
Dans le cas particulier de l'anneau , les
notions de priméralité et d'irréductibilité sont équivalentes. C'est
pour cela que l'on confond ces deux notions !
Mais il est des anneaux où il en va différemment.
Un premier truc en plus : les
nombres premiers sont irréductibles. Nous avons dit dans la présentation de nos quatre notions que dans ![]() Cependant cette équivalence est fausse en générale ! La seule chose qui soit vraie quelque soit l'anneau considéré est que :
Mais la réciproque est fausse ! Pour connaître le pourquoi
du théorème déplacez votre curseur ici |
p est un nombre premier. Supposons qu'il ait des diviseurs c'est-à-dire que p soit un produit.
Il existe donc deux nombres a et b tels que p = a . b On peut aussi utiliser cette égalité pour dire que p divise le produit a.b. En effet, on a bien que : a.b = p × 1. Or p est un nombre premier, donc s'il divise un produit, c'est qu'il divise l'un des deux facteurs. Pour fixer les idées, disons qu'il divise a. Comme il divise a, c'est donc qu'il existe un nombre x tel que a = p . x. La première égalité devient donc : ![]() Autrement exprimé, le nombre x est donc l'inverse du nombre b.
Conclusion : les seuls diviseurs de p étant des inversibles et des nombres qui lui sont associés, il est donc irréductible. La priméralité entraîne donc l'irréductibilité... |
Un second truc en plus :
l'irréductibilité et la priméralité ne se transmettent pas toujours au
niveau supérieur !
Tout cela pour dire que lorsque l'on passe à structure
supérieure, rien ne garantit qu'un nombre qui était premier ou
irréductible, le demeure !
|
Quelques mots sur ![]() Les inversibles de ![]() Pour être irréductibles/premiers dans
|
Décomposition en facteurs premiers.
comme
comporte une infinité de nombres premiers/irréductibles. A partir de ceux-ci,
on peut exprimer n'importe quel entier sous la forme d'un produit : c'est la
décomposition en facteurs premiers...
Nous commencerons par parler de la décomposition en facteurs premiers d'un
entier naturel avant de conclure plus généralement sur les relatifs.
Théorème de la décomposition en facteurs
premiers dans ![]() Tout entier naturel supérieur à 1 peut s'écrire comme étant le produit de nombres premiers. |
Voyons sur un exemple ce que signifie ce théorème.
Par exemple, il dit que 24 peut être écrit sous la forme d'un produit
d'entiers naturels premiers. En effet :
24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
2 et 3 sont des nombres premiers ou irréductibles. Ils servent à décomposer 24.
Ce théorème a beau être assez court, il nous faut pourtant le démontrer car
même si cela marche avec 24, rien ne garantit qu'il soit vrai ailleurs !
Rappelons que 1 n'est pas considéré comme un nombre premier/irréductible !
Preuve du théorème de la décomposition en facteurs premiers. |
Nous allons démontrer ce théorème en utilisant un
raisonnement par récurrence. Tout entier naturel inférieur ou égal à n peut s'écrire comme étant un produit de facteurs premiers. Nous pourrions commencer au rang n = 1 mais hélas pour lui ce nombre est un inversible. Il ne peut donc pas être premier ou irréductible. C'est pour cela que la manoeuvre débutera rang n = 2.
D'où le théorème. |
Cette propriété établie pour les entiers naturels peut être étendue sur .
En effet, prenons un entier relatif z quelconque. Il y a alors plusieurs
cas possibles :
Cela nous donne le théorème suivant :
Théorème de la décomposition en facteurs
premiers dans ![]() Tout entier relatif non nul et non inversible (différent de -1 et 1) est le produit d'un inversible et de nombres premiers/irréductibles. |
Autrement écrit, tout entier relatif z peut être décomposé sous la forme :
Intéressons-nous par exemple à -24. Le théorème dit qu'on peut le décomposer. En effet, on peut écrire que :
-24 = (-1) × 23 × 3 = 1 × (-2)3 × 3 = 1 × 23 × (-3) = (-1) × (-2)3 × (-3)
Ce sont là trois décompositions de -24. En effet -3, -2, 2 et 3 sont des
nombres premiers/irréductibles
dans .
Nous aurions pu être plus vicieux en exhibant la décomposition : -24 =
(-1) × 2 × (-2) × 2 × (-3).
C'est une autre décomposition de -24 en facteurs premiers.
De même, on peut décomposer 24 dans
sous la forme : 24 = (-2) × 2 × 2 × (-3).
Tout cela pour dire qu'il y a plusieurs façons d'écrire une décomposition en facteurs premiers. Pour n'en avoir qu'une seule, un usage consiste à ne prendre que des entiers premiers positifs. Pour nos deux exemples, les décompositions en facteurs premiers pédagogiquement correctes sont donc :
24 = 1 × 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3 et -24 = (-1) × 23 × 3
La division euclidienne dans .
Pour terminer cette page, nous allons évoquer la division euclidienne. Non dans mais dans l'ensemble des entiers relatifs
.
La division euclidienne est une vieille connaissance : tout du moins dans .
Chacun a appris à l'école primaire à poser et effectuer des divisions.
"En tant, combien de fois..." telle était la phrase mythique ruminée
quotidiennement par cette si belle institutrice d'alors. Puis l'aventure s'est
poursuivi au collège.
Mais aujourd'hui les choses ont changées. Il ne s'agit plus d'entiers
simplement naturels mais de relatifs. Et là les choses deviennent plus
mathématiques !
On pourrait croire que la division euclidienne a été donné aux hommes par
Dieu avec les dix commandements. En fait, elle est la conséquence d'un
théorème dans comme dans
.
Théorème : la division euclidienne dans ![]() Si a et b sont deux entiers relatifs (b étant non nul) alors il existe un et un seul couple d'entiers relatifs (q ; r) tels que : ![]() On dit que la division euclidienne du dividende a par le diviseur b a pour quotient q et pour reste r. |
Nous verrons un peu plus tard ce que signifie diviser euclidiennement deux entiers relatifs. A présent, il nous faut démontrer ce théorème. Car rien ne garantit qu'il soit vrai pour tous même s'il marche ici et là !
Preuve du théorème instituant la division euclidienne. | ||||||||||||||||||||
a et b sont deux entiers relatifs, b
est différent de 0.
D'où le théorème. |
Ce superbe nous dit qu'il est possible d'étendre la division euclidienne de
à
. Seulement il ne nous dit
pas comment procéder avec des entiers négatifs. Nous pourrions traiter
quelques exemples mais ce n'est pas ce que nous ferons.
Si vous voulez savoir comment diviser euclidiennement dans ,
expérimentez donc avec l'applette ci-dessous !
Le truc en plus : La division euclidienne fait de l'anneau ![]() ![]() |
Mais au fait, c'est quoi un anneau euclidien ?
Dans le cas de l'anneau Comme nous l'avons vu dans Il existe des tas d'anneaux qui ne sont pas euclidiens. C'est notamment le cas z[ |
En guise de conclusion : on pourrait croire que la division euclidienne est spécifique aux entiers. En fait, il n'en est rien. Nous avons déjà vu qu'il existait une division euclidienne pour les polynômes. Le théorème présidant à celle-ci est le suivant :
Théorème : la division
euclidienne pour les polynômes. Si A(x) et B(x) deux polynômes, B(x) étant non nul alors il existe un couple de deux autres polynômes Q(x) et R(x) tels que : A(x) = B(x) . Q(x) + R(x) et degré de R(x) < degré de B(x) |
Cette division euclidienne fait de l'ensemble des
polynômes à coefficients réels [X]
un autre anneau euclidien...