| Au sommaire : | Le problème | L'essentiel | Quelques exemples |
Les
priorités opératoires :
un nouvel ordre.
Quand un calcul ne comporte qu'une seule
opération, les choses sont simples. Mais lorsqu'il en comporte plusieurs, elles
se compliquent.
Heureusement pour nous, il y a des lois. C'est ce que nous allons voir...
Le problème.
Pour bien comprendre le problème, examinons par exemple, le calcul :
23 + 7 × 5
Ce calcul comporte une addition et une multiplication.
Nous sommes en Cinquième et c'est la première fois que nous tombons sur un tel calcul. Effectuons ce calcul de deux manières différentes :
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De la gauche vers la droite : Comme nous lisons de la gauche vers la droite, nous allons faire le calcul dans le même sens. Nous commencerons donc par l'addition, puis nous multiplierons. 23 + 7 × 5 = 30 × 5 = 150 Par cette méthode, le résultat du calcul est 150. |
| De la droite vers la gauche : Après tout, rien ne nous empêche de commencer par la fin ! Nous allons effectuer le calcul de la droite vers la gauche. Nous débuterons donc par la multiplication et terminerons par l'addition. 23 + 7 × 5 = 23 + 35 = 58 Par cette seconde méthode, le résultat du calcul est 58. |
Par deux méthodes différentes, on trouve deux résultats différents à
un même calcul.
Il y a un problème car on ne devrait trouver qu'un seul résultat pour ce calcul.
En fait, les choses sont claires :
Nous allons remettre de l'ordre dans tout cela
en décrétant que la multiplication
est prioritaire par rapport à l'addition
: c'est-à-dire qu'il faut toujours commencer par multiplier.
Avec notre exemple, il faut donc faire :
23 + 7 × 5 = 23 + 35 = 58
On commencer par la multiplication.
Cependant, pour indiquer que dans un
calcul il faut commencer par une addition, on décide d'introduire un
"emballage" particulier : les parenthèses.
Par exemple :
(23 + 7) × 5 = 30 × 5 = 150
Nous avons commencé par effectuer l'opération qui était entre parenthèses : nous avons commencé par additionner.
L'essentiel.
Dans un calcul comportant plusieurs opérations, il faut établir des
priorités. C'est-à-dire qu'il faut établir une règle que chacun devra
suivre. C'est celle qui suit :
Règle : Dans un
calcul comportant plusieurs opérations, je dois :
Lorsque aucune opération n'est prioritaire sur une autre (par exemple une addition suivi d'une soustraction), je dois alors effectuer le calcul en partant de la gauche comme si je le lisais. |
Chacun se doit de suivre cette règle. Dans le prochain paragraphe, nous allons l'appliquer sur quelques exemples.
Quelques exemples.
Voyons sur quatre exemples comment s'applique la règle ci-dessus.
Pour accéder directement à un exemple, clique sur ce qui suit :
| Note : dans chacun des exemples suivants, à chaque étape du calcul, nous soulignerons l'opération qui sera effectuée. | ||
| Exemple 1 : calculons 12 ×
(8 - 3) + 15 Ce calcul comporte une multiplication, des parenthèses et une addition. Nous devons donc commencer par nous occuper de ce qu'il y a entre parenthèses. Puis, il faudra multiplier et enfin ajouter.
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| Exemple
2 : calculons 15 - (14 - 27) +7 × 3 Ce calcul ne présente aucune difficulté : il suffit juste d'appliquer la règle. Nous commencerons donc par nous occuper des parenthèses...
Deux remarques :
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| Exemple 3 :
calculons 5 × (47 - 4 × 9) Là encore, nous devons encore commencer le calcul par les parenthèses. Cependant à l'intérieur de ces parenthèses, il y a le sous-calcul 47 - 4 × 9. Là encore, point de problème, il nous suffira juste d'appliquer la règle et de débuter par 4 × 9.
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| Exemple 4
: calculons 13 - (10 - (5 + 4 ×7)) Il y a ici deux paires de parenthèses dont l'une est contenue dans l'autre. Par laquelle faut-il donc commencer ? La réponse est simple : par celle qui est le plus à l'intérieur. La manoeuvre débutera donc avec le sous-calcul (5 + 4 × 7). Nous devons d'abord réduire cette parenthèse intérieure avant de nous attaquer au reste.
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