Au sommaire : Fonction affine Fonction linéaire Image et antécédent

Dans cette page, nous allons définir ce que sont les fonctions affines et linéaires. Nous aborderons également leur manipulation ainsi que le vocabulaire qui s'y rattache...
En seconde, on approfondit le concept de fonction affine.

 

Fonction affine.
Nous ne donnerons pas ici la définition bête et méchante de ce qu'est une fonction. Nous le faisons déjà à peine en Seconde.
Il n'y a qu'une chose à retenir :

Une fonction est un processus qui à un nombre x associe un autre nombre y.

C'est en particulier le cas avec une fonction affine.

Définition : Une fonction affine f est une fonction de la forme f(x) = a.x + b
où a et b sont deux nombres connus.
x est ce que l'on appelle la variable : elle peut prendre n'importe quelle valeur.

Au nombre x, la fonction f associe le nombre a.x + b

Par exemple :

Par contre :

En résumé, une fonction affine est de la forme :

quelque chose  × x  +  autre chose

 

Fonctions linéaires.
Les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières : avec un b nul.

Définition : Une fonction linéaire f est une fonction de la forme f(x) = a.x
où a est un nombre connu.
x est ce que l'on appelle la variable : elle peut prendre n'importe quelle valeur.

Au nombre x, la fonction f associe le nombre a.x

Par exemple :

Par contre :

 

Image et antécédent.
Dans les fonctions que nous venons de voir, il y a la variable x. Si l'on remplace cette variable x par un nombre quelconque, on calcule l'image de ce nombre par la fonction f.
Quand on fait le chemin inverse, on calcule des antécédents.
Voyons tout cela au travers d'exemples :

Image d'un nombre par une fonction.
 
L'image d'un nombre x par une fonction f est le nombre f(x) qui lui est associé par cette fonction f.

On considère la fonction affine  f(x) = 2.x - 1.

  • Calculons l'image de 3 par la fonction f.
    Il s'agit en fait de calculer la valeur prise  f(x)  lorsque x = 3.
    Il s'agit donc de remplacer x par 3 dans l'expression de f.
    f(3) = 2 × (3) - 1
    = 6 - 1
    = 5
    L'image de 3 par la fonction f est donc égal à 5.
     
  • Calculons f(-7).
    Autrement écrit, nous devons calculer l'image de -7 par     f.
    Il n'y a aucune difficulté : nous allons faire comme précédemment. Nous allons remplacer x par 3 dans l'expression de f.
    f(-7) = 2 × (-7) - 1
    = -14 - 1
    = -15
    L'image de 3 par la fonction f est donc égal à 5.  

On peut aussi essayer de voir les choses à l'envers...

Antécédent d'un nombre par une fonction.
 
Un antécédent d'un nombre y par une fonction f est un nombre x dont l'image f par est égale à  y.
C'est-à-dire tel que   y =  f(x).

On considère la fonction affine  f(x) = 2.x - 1.

  • Déterminons le ou les antécédents de 7 par f.
    Nous devons donc déterminer le ou les nombres x qui ont pour image 7.
    Autrement écrit, il nous faut trouver les x tels que  f(x) = 7.
    Pour cela, nous devons résoudre l'équation  f(x) = 7  où l'inconnue est x.
    f(x)
    2.x - 1
    2.x
    x         		= 7 
    = 7
    = 8
    = 8/2 = 4 
    Le seul antécédent de 7 par la fonction f  est donc  x = 4.

Note : la notion d'antécédent n'est pas au programme de Troisième. Mais il est utile de la connaître... selon nous.
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