Ensembles de nombres et intervalles réels.
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1°) Ensembles de nombres.
Ensembles des entiers naturels, des entiers relatifs, des décimaux, des rationnels et des réels. |
2°) Intervalles réels.
Les différents types d'intervalles ouverts ou fermés. |
Il existe différentes sortes de nombres. Pour les classer, on les a regroupés dans différents ensembles remarquables que nous allons énoncés.
L'ensemble des entiers naturels.
Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0. Par exemple, 0,
1, 2 et 5676 sont des entiers naturels. Par contre -45 n'en est pas un.
Cet ensemble est noté 
comme naturel.
On dit que ces entiers sont naturels car ce sont ceux que l'on utilise
naturellement dans la vie de tous les jours.
Il existe une infinité d'entiers naturels.
L'ensemble des entiers relatifs.
Tous les entiers qu'ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont des entiers relatifs. Par exemple, -45, -1, 0 et 56 sont des entiers relatifs.
L'ensemble des entiers relatifs est noté 
. Ce symbole vient du mot allemand "die Zahl" qui signifie le nombre.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit alors que l'ensemble est inclu dans l'ensemble (sous-entendu que tous les éléments du premier font partie du second).
Cette inclusion est notée :
" signifie "est inclu dans".
L'ensemble des décimaux.
L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres dits "à
virgule". Cet ensemble est noté 
.
Par exemple, -3,89 et 5,2 sont des décimaux. Ils peuvent être
négatifs ou positifs.
Les entiers relatifs sont aussi des décimaux. En effet :
est inclu dans l'ensemble
. Ce qui se note :
L'ensemble des rationnels.
Les nombres rationnels sont les fractions de la forme p/q où
p et q sont des entiers (non nul pour q).
Cet ensemble des rationnels est noté 
comme quotient.
Par exemple, 2/3 et -1/7 sont des rationnels.
Tous les nombres décimaux sont des nombres
rationnels qui se cachent. Prenons par exemple 1,59. C'est en fait le quotient
des entiers 159 et 100 car 159 / 100 = 1,59.
De même, tous les entiers sont des décimaux.
Prenons l'exemple de -4. On peut dire que -4 est le quotient de -4 et de
1 car -4 / 1 = -4.
L'ensemble des décimaux (et par conséquent celui des entiers naturels et celui des entiers relatifs) est donc inclu dans . On résume cela par :
L'ensemble des réels.
Tous les nombres utilisés en Seconde sont des réels. Cet ensemble est noté 
.
Divers problèmes géométriques ont amené
à considérer de nouveaux nombres comme par exemple 
.
Le premier est la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle
isocèle de coté 1. Le second est le périmètre
d'un cercle de diamètre 1. On démontra que ces deux nombres
n'étaient pas des nombres rationnels. Par conséquent, on
créa un super-ensemble contenant tous les "nombres mesurables" ainsi
que leurs opposés. On l'appela l'ensemble des nombres réels.
Un réel positif est un "nombre mesurable" en ce sens que l'on peut construire une ligne géométrique finie (c'est-à-dire un cercle, un segment ...) dont la longueur est ce nombre réel.
Réciproquement, la longueur de n'importe quelle ligne géométrique finie (finie de façon à pouvoir en mesurer la longueur) est un nombre réel positif.
C'est pour cela que l'on représente cet ensemble
par une droite graduée. Une telle droite est appelée
droite numérique.
Tout point de cette droite a pour abscisse un nombre réel. Tout nombre réel est l'abscisse d'un point de cette droite.
Ce qui donne par exemple :
alors que les nombres réels positifs et 
sont les abscisses des points B et C.
est donc inclu dans l'ensemble . On résume cela par :
Tous les ensembles que nous avons vus, sont inclus les uns dans les autres. Un peu comme des poupées russes. On peut résumer tout cela par :
Les intervalles réels sont des sous-ensembles (ou des parties) de l'ensemble des réels .
Leur grande particularité est qu'ils sont "continus". C'est-à-dire que le chemin entre deux éléments d'un intervalle reste dans cet intervalle.
Leur représentation sur la droite numérique est un segment ou une droite dont les extrémités peuvent être exclues. C'est d'ailleurs ce qui fait qu'un intervalle est ouvert ou fermé.
Les différents types d'intervalles.
Dans le tableau ci-dessous, a et b sont deux réels tels que a
b.
| Notation | Représentation sur la droite réelle | Ensemble des réels x tels que | Appellation |
| [a ; b] |
 |
a x b |
Intervalle fermé borné |
| [a ; b[ |
 |
a x < b |
Intervalle borné semi-fermé en a et semi-ouvert en b (ou semi-fermé à gauche et semi-ouvert à droite) |
| ]a ; b] |
 |
a < x b |
Intervalle borné semi-ouvert en a et semi-fermé en b (ou semi-ouvert à gauche et semi-fermé à droite) |
| ]a ; b[ |
 |
a < x < b | Intervalle ouvert borné. |
]-
; b] |
 |
x b |
Intervalle non borné fermé en b (ou fermé à droite) |
|
]-
; b[ |
 |
x < b | Intervalle non borné ouvert en b (ou ouvert à droite) |
|
[a ; +
[ |
 |
a x |
Intervalle non borné fermé en a (ou fermé à gauche) |
|
]a ; +
[ |
 |
a < x | Intervalle non borné ouvert en a (ou ouvert à gauche) |
Quelques remarques sur ce tableau :
se lit "plus l'infini". Contrairement à ce que l'on pourrait croire, + n'est pas un nombre. C'est juste un symbole pour désigner le "bout positif et infiniment grand" de l'ensemble des réels. C'est une sorte d'horizon... se lit elle "moins l'infini".
Histoire de crochets.
On parle souvent de crochet ouvrant ou de crochet fermant. Expliquons ce qu'il en est.
Un crochet est ouvert lorsqu'il fait le dos à sa borne. Il indique que celle-ci ne fait pas partie de l'intervalle.
La borne 2 ne fait pas partie de l'intervalle ] 2 ; 5]. |
La borne 7 ne fait pas partie de l'intervalle ] 1 ; 7 [. |
Aux infinis ( en - et + ), le crochet est toujours ouvert.
Un crochet fermé est un crochet qui s'ouvre sur sa borne. Il indique qu'elle fait partie de l'intervalle.
Un crochet qui n'est pas ouvert est nécessairement fermé.
Dans la notation d'intervalle comme dans la représentation sur la droite réelle, un crochet ouvrant indique que la borne ne fait pas partie de l'intervalle alors qu'un crochet fermant l'y inclut.