.La fonction carrée.
La fonction carrée est la fonction définie par :
Le plan d'étude de la fonction carrée est le suivant :
La première chose à faire quand on a une fonction toute nue comme celle-ci, c'est d'en déterminer l'ensemble de définition. C'est-à-dire déterminer l'ensemble des réels qui ont une image par cette fonction.
Tout réel pouvant avoir un carré, l'ensemble de définition de la fonction carrée est donc .
La fonction f est une fonction paire.
En effet :
f(-x) = (-x)2 = ((-1) × x)2 = (-1)2 × x2 = 1 × x2 = x2 = f(x).
Comme pour tout réel x, f(-x) = f(x), la fonction carrée est donc paire.
Représentation graphique de la fonction carrée.
Commentaires :
En arrivant au voisinage de 0, la courbe semble coller de plus en plus à l'axe des abscisses. On dit alors que l'axe des abscisses est la tangente à la courbe en 0.
Comportements de la fonction carrée.
Remplissons le tableau de valeurs suivant :
| x | 10 | 102 | 103 | 10n |
| f(x) | 100 | 104 | 106 | 102.n |
La morale de ce tableau de valeurs est que f(x) devient très grand lorsque x devient grand. On dit alors que f(x) tend vers +
lorsque x tend vers + . On dit aussi que f a pour limite + en + .
C'est l'envolée de la courbe à ses extrémités que nous constations au paragraphe précédent.
Remplissons le tableau de valeurs suivant :
| x | 1 | 0,1 | 10-2 | 10-n |
| f(x) | 1 | 0,01 | 10-4 | 10-2.n |
La morale de ce tableau de valeurs est que f(x) devient très petit lorsque x devient petit. On dit alors que f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. On dit enfin que f a pour limite 0 en 0.
Variations de la fonction carrée.
Si l'on observe la première courbe, il semble que :
; 0].[.Montrons ces deux choses !
Soient x et y deux réels positifs c'est-à-dire de l'intervalle [0 ; +[, tels que x < y.
Par passage de cette inégalité au carré, il vient alors que : x2 < y2.
Autrement écrit, f(x) < f(y).
La fonction carrée est donc croissante sur [0 ; + [. Comme nous le supposions !
Comme de plus la fonction carrée est paire, il vient alors que f est aussi décroissante sur l'autre branche de , c'est-à-dire sur ]- ; 0].
Tableau de variation de la fonction carrée.
La conclusion de toute cette étude est le tableau de variation que voici :
