Le sommaire de cette page est le suivant :

• On dit bien "associe au plus un nombre réel". Autrement dit, on peut en associer un seul comme on peut en associer aucun.
• L’image par une fonction f d’un élément x de I est le réel qui lui est associé par cette fonction f.
• Les nombres x de l’ensemble I, à qui la fonction f n’associe aucun réel, n’ont donc pas d’image. Tout élément de I a donc au plus une image par la fonction f.
• Les antécédents par la fonction f du nombre réel y, sont les éléments de I dont y est l’image par f.
• Tout nombre réel y peut n’avoir aucun antécédent par une fonction. Il peut aussi en avoir une infinité.

Parmi les fonctions que vous êtes sensé connaître, citons :

• Les fonctions affines.
• Les fonctions carrée, cube, racine carrée, inverse et valeur absolue.

Elève, on vous ment ! Ce que des fois, on essaie de vous faire passer pour une définition de fonction est en fait la définition d’une application. Pour en savoir plus, cliquez ici.

Les fonctions peuvent servir à résoudre certaines équations ou inéquations.

Imaginons que vous ayez à résoudre par exemple : x³ - 2.x² - x + 3 = 2.

A priori, elle semble peu commode. Pourtant l'on peut déplacer le problème.

En effet, si l'on considère la fonction f(x) = x³ - 2.x² - x + 3, alors résoudre cette équation revient en fait à rechercher les antécédents de 2 par la fonction f.

Réciproquement, rechercher les antécédents de 2 par la fonction f revient à résoudre l'équation x³ - 2.x² - x + 3 = 2.

Cette double remarque sert en particulier lorsqu'il s'agit de résoudre graphiquement une équation. On détermine alors graphiquement les antécédents d'un certain réel par une certaine fonction.

Considérons la fonction f : I qui est donc définie sur l’intervalle ou sur la réunion d’intervalle qu’est I.

Comme nous l’avons vu, rien ne garantit que chaque élément de I ait une image par f. Il peut ne pas en avoir. C’est pour cela que l’on a inventé l’ensemble de définition de la fonction f.

La fonction g définie par :

est une application. En effet, chacun des éléments de D_f a une image.

Pour l'étude des fonctions usuelles (fonction carrée, cube...), l'on est amené à rechercher l'ensemble de définition d'une fonction.

On représente graphiquement les fonctions dans un repère qui peut être orthogonal ou orthonormé. On munit donc le plan d'un repère orthogonal ou orthonormé.

Par exemple, la représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation réduite y = f(x).

La réponse, vous la connaissez.

Pour connaître l'image de a par la fonction f, on trace la droite d'équation x = a. Son éventuel unique point d'intersection avec la courbe nous donne un point M dont l'abscisse est a et l'ordonnée f(a). Il ne reste plus qu'à lire.

Mais pour que ce point M existe, encore faut-il que a admette une image par f. Son inexistence implique de fait celle de cette image.

Pour déterminer graphiquement les antécédents de b par la fonction f, on trace la droite d'équation y = b. Elle coupe la courbe C_f en un unique point M. L'abscisse a de ce point est l'unique antécédent de b par la fonction f.

Mais il se peut aussi qu'un réel ait plusieurs antécédents. C'est le cas de c. En effet, la droite d'équation y = c coupe à deux reprises la courbe C_f en M' et M". Les abscisses respectifs a' et a" de ces deux points sont les deux antécédents de c.

Il se peut aussi qu'il n'en ait aucun. C'est le cas d. La droite d'équation y = d ne coupe jamais la courbe C_f.

Ce qu'il faut retenir, c'est qu'il a autant de points d'intersection que d'antécédents.

Toutes les courbes ne représentent pas nécessairement une fonction. Comme nous venons de le voir, deux points distincts d'une courbe représentative de fonctions, ne peuvent pas avoir le même abscisse.

En fait, pour qu'une courbe soit la représentation graphique d'une fonction, il faut et il suffit qu'elle coupe au plus une fois toute droite verticale.

Par exemple :

La courbe C ne peut en aucun cas prétendre au titre de courbe représentative. En effet, la droite verticale d'équation x = a rencontre la courbe C à trois reprises en M, M' et M". Soient deux fois de trop. Le réel a ne peut en effet avoir qu'au plus une image. Et non trois comme c'est ici le cas.

Certains livres de seconde vous vendent une définition de la fonction qui en fait, est la définition de l’application.

Comme beaucoup de leurs confrères, les mots mathématiques ont très souvent leur définition dans le dictionnaire ou dans une encyclopédie. Notre première initiative sera donc de les citer.

Fonction : Math. Correspondance d'un ensemble E vers un ensemble F, qui à tout élément de E associe au plus un élément de F. 

Application : Math. Opération qui consiste à faire correspondre à tout élément d'un ensemble A un élément d'un ensemble B et un seul. 

Le concept de fonction est donc nettement plus large que celui d’application. En effet, par une fonction, tout élément de l’ensemble de départ peut avoir une image. Par une application, il doit en avoir une.

De plus, toute application est donc une fonction.

En fait, dés qu’on définit une fonction, on en cherche très souvent l’ensemble de définition. Cela en fait revient à en faire une application.

A titre d’exemple, intéressons-nous à la fonction inverse.

La fonction f est définie par :

C'est une fonction mais ce n'est pas une application. En effet, 0 n’a pas d’image par f. On ne peut pas l'inverser.

Par contre, la fonction g définie par :

est elle une application car chacun des éléments de R* a une image par g. Tout réel non nul est en effet inversible.

Or la seule chose qui change entre f et g est l’ensemble de définition. Le fait d'exclure 0 de l'ensemble de définition à suffit à faire de g une application.

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