La fonction inverse.
La fonction inverse est la fonction définie par :
Le plan d'étude de la fonction carrée est le suivant :
La présente fonction étant fournie sans, il nous faut lui trouver son ensemble de définition. Il s'agit donc de déterminer l'ensemble des réels qui admettent une image par f. C'est-à-dire ceux qui ont un inverse.
Or les réels que l'on peut inverser, nous les connaissons ! C'est tout le monde, sauf 0 !
Cet ensemble de définition est donc l'ensemble des réels privé de 0. On le note 
* voir encore ]-
; 0[ 
]0 ; + [. C'est l'union de l'intervalle des réels strictement négatifs (sous-entendu ]- ; 0[ ) et de celui des réels strictement positifs (sous-entendu ]0 ; + [ ). Une union dont les réels strictement nuls ne font pas partie !
Cette dernière notation permet de se rendre compte que la fonction inverse est définie sur deux parties de la droite réelle séparée par 0. Une coupure en quelque sorte !
Imparité de la fonction inverse.
Une des grandes particularités de la fonction inverse est qu'elle est impaire !
En effet, si x est un réel alors
Ce qui prouve que la fonction est impaire comme la fonction cube.
Représentation graphique de la fonction inverse sue l'intervalle [-15,2 ; 15,2].
Commentaires :
et en +. Nous reviendrons sur cela à l'occasion du prochain paragraphe.
Comportements de la fonction inverse.
Remplissons le tableau de valeurs suivant :
| x | 1 | 10 | 102 | 10n |
| f(x) | 1 | 0,1 | 0,01 = 10-2 | 10-n |
Plus x est positivement grand et plus f(x) est positivement petit. Lorsque x tend vers + , f(x) tend vers 0. On dit alors que la limite en + de la fonction f est 0. Ce qui explique ce rapprochement progressif entre la courbe et l'axe des abscisses.
Remplissons le tableau de valeurs suivant :
| x | 1 | 0,1 | 10-2 | 10-n |
| f(x) | 1 | 10 | 102 = 100 | 10n |
Plus x est petit et plus f(x) devient grand. Autrement dit, f(x) tend vers + lorsque x tend vers 0. On dit aussi que la limite en 0 de f est +. Ce qui explique ce rapprochement progressif entre la courbe et l'axe des ordonnées au voisinage de 0.
Variation de la fonction inverse.
A voir la courbe, il semble que la fonction inverse soit décroissante sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; + [. Montrons-le :
Soient x et y deux réels strictement négatifs (donc faisant partie de ]- ; 0[ ) tels que x < y.
Comme x et y ont même signe, par passage de cette inégalité à l'inverse, il vient que :
donc f(x) > f(y).
Ce qui prouve la décroissance de la fonction inverse sur ]- ; 0[.
Comme de plus cette fonction inverse est impaire, sa décroissance sur l'intervalle ]- ; 0[ nous permet d'affirmer qu'elle est également décroissante sur ]0 ; + [.
Ainsi donc, f est décroissante sur *.
En conclusion, on avait raison !
Tableau de variation de la fonction inverse.
Avec toute cette étude, nous pouvons dresser le tableau de variation de la fonction inverse.
La double barre en dessous de 0 est là pour indiquer que 0 n'a pas d'image par la fonction inverse.