Dire qu'un ensemble E est centré en 0 signifie que si x est un élément de E alors son opposé -x est aussi un élément de E.

Par exemple, l'intervalle [-2 ; 2] est un ensemble centré en 0.

Pour ceux qui n'en seraient par convaincu, remarquons que si x fait partie de [-2 ; 2] alors

-2 x 2

En multipliant les trois membres de l'inégalité par -1, le sens est alors changé et...

(-2) × (-1) x × (-1) 2 × (-1)

2 -x -2.

Autrement dit, -x fait aussi partie de l'intervalle [-2 ; 2].

De même, l'ensemble ]-2 ; 2[ est aussi centré en 0 tout comme la réunion d'intervalle qu'est ]-2 ; 0[ ]0 ; 2[.

Par contre [-2 ; 2[ n'est pas centré en 0. Ceci car si -2 fait partie de cet ensemble, son opposé 2 n'en fait pas partie.

Enfin, retenez que l'intervalle ]- ; + [ (qui est aussi l'ensemble des réels R) et la réunion d'intervalle ]- ; 0[ ]0 ; + [ (qui est aussi R^* ) sont aussi des ensembles centrés en 0.

Dans ce qui suit, I est un intervalle ou une réunion d'intervalle centré en 0 (par exemple ]-2 ; 2[ ou ]-2 ; 0[ ]0 ; 2[ ). Ainsi, I est donc aussi un ensemble.

Définition : Dire que la fonction f : I est paire signifie que pour tout réel x appartenant à I, f(-x) = f(x).

Commentaires :

• En clair, une fonction paire est une fonction par laquelle un réel et son opposé ont même image.
• Un exemple de fonction paire est la fonction carrée et la fonction valeur absolue.

Certains disent que [-b ; -a] est l'intervalle symétrique de [a ; b].
On se sert de ce théorème pour montrer que la fonction carrée est décroissante sur ]- ; 0[.
Nous avons énoncé un théorème en deux points, il nous faut donc le montrer !

(i) : L'hypothèse est ici : f est croissante sur l'intervalle [a ; b]. Il s'agit de montrer qu'alors, f est aussi décroissante sur [-b ; -a].
Soient x et y deux réels de l'intervalle [-b ; -a] tels que x < y.
Il est alors clair que leurs opposés -x et -y sont deux réels de l'intervalle [a ; b] tels que -x > -y.
Or sur cet intervalle [a ; b], f est croissante. Donc si -x > -y alors f(-x) f(-y).
Comme de plus f est paire, on a aussi que f(x) = f(-x) et f(y) = f(-y).
Il vient alors que f(x) f(y).
En résumé, si x et y sont deux réels de l'intervalle [-b ; -a] tels que x < y alors f(x) f(y).
Autrement dit, f est décroissante sur [-b ; -a]. Ce que l'on voulait !

(ii) : La méthode demeure la même. L'hypothèse est ici que f est décroissante sur [a ; b].
Si x et y deux réels de [-b ; -a] tels que x < y alors leurs opposés -x et -y sont deux réels de [a ; b] tels que -x > -y.
Or sur cet intervalle [a ; b], f est décroissante. Donc si -x > -y alors f(-x) f(-y).
Là encore, f étant paire, on a que f(x) = f(-x) et f(y) = f(-y).
Et donc, Il vient alors que f(x) f(y). D'où la croissance de la fonction f sur l'intervalle [-b ; -a].

Dans ce qui suit, la fonction f est supposée paire.

On appelle M_x et M_-x les points de la courbe représentant la fonction f dont les abscisses respectifs sont x et -x. Intéressons-nous à leur coordonnées.
Celles de M_x sont : (x ; f(x)).
Celles de M_-x sont : (-x ; f(-x)) ce qui s'écrit encore (-x ; f(x)) vu que f est paire.
Représentons-les sur un dessin avec une courbe de fonction paire (c'est en l'occurrence la fonction cosinus) :

Autrement dit, le point M_-x est le symétrique du point M_x par rapport à l'axe des ordonnées.
Ainsi :

Comme dans le paragraphe précédent, I est un intervalle ou une réunion d'intervalles dans ce qui suit.

Définition : Dire qu'une fonction f : I est impaire signifie que pour tout x appartenant à I, f(-x) = -f(x)

• En deux mots et même un peu plus, une fonction impaire est une fonction par laquelle un réel et son opposé ont des images opposées.
• Les fonctions cube et inverse sont deux exemples de fonctions impaires.
• Une fonction qui n'est pas paire, n'en est pas pour autant impaire !
  Par exemple, les fonctions g(x) = x + 15  et  h(xà = x³ + x² + 1 sont deux exemples de fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires. Si vous voulez savoir pourquoi, cliquez ici.

Supposons que la fonction impaire f soit définie en 0 (sous-entendu que 0 admette une image par la dite fonction).
Si on pose x = 0, on a alors que f(-0) = -f(0).
Or l'opposé de 0 est lui-même. L'égalité précédente devient alors : f(0) = -f(0)

Cela nous permet d'énoncer le théorème suivant :

Une illustration de ce théorème est ce qui arrive en 0 à la fonction cube.
Mais attention, il faut que f soit définie en 0. Bien qu'elle soit impaire, le théorème n'est pas applicable à la fonction inverse car elle n'est pas définie en 0.

Conséquence de l'imparité sur le sens de variation. 

On se sert de ce théorème pour montrer que la fonction cube est croissante sur l'intervalle ]- ; 0].

A l'instar de ce que nous avions fait pour la parité, nous allons montrer ce théorème.

(i) : L'hypothèse est ici que f est croissante sur l'intervalle [a ; b]. Notre rôle : montrer qu'alors elle l'est aussi sur l'intervalle [-b ; -a].
Soient x et y deux réels de l'intervalle [-b ; -a] tels que x < y.
Il est alors clair que leurs opposés -x et -y sont deux réels de l'intervalle [a ; b] tels que -x > -y. L'inégalité précédente a été multipliée par -1 ce qui en a changé le sens.
Or par hypothèse, f est croissante sur l'intervalle [a ; b]. Ainsi f(-x) f(-y).
De plus, nous savons que f est impaire. Donc f(-x) = -f(x) et f(y) = -f(y). Ainsi :

-f(x) -f(y)

En multipliant cette inégalité par -1, le sens en est changé et :

(-1) × (-f(x)) (-1) × (-f(y))

D'où f(x) f(y).

En résumé, si x et y sont deux réels de l'intervalle [-b ; -a] tels que x < y alors f(x) f(y).
Autrement dit, la fonction f est croissante sur l'intervalle [-b ; -a]. C'est-à-dire ce que nous voulions !

(ii) : On procède comme précédemment. L'hypothèse est ici que f est décroissante sur [a ; b].
Soient x et y sont deux réels de l'intervalle [-b ; -a] tels que x < y. Donc leurs opposés -x et -y sont eux deux réels de [a ; b] tels que -x > -y.
Comme f est décroissante sur [-b ; -a] alors f(-x) f(-y).
Or f est aussi impaire. Donc f(-x) = -f(x) et f(-y) = -f(y). L'inégalité précédente devient alors

- f(x) -f(y)

On multiplie les deux membres de cette inégalité par -1...

f(x) f(y).

Si x et y sont deux réels de l'intervalle [-b ; -a] tels que x < y alors f(x) f(y). C'est la définition de la décroissance appliquée à la fonction f sur l'intervalle [-b ; -a].
Ainsi a-t-on ce que nous voulions !

Nous allons procéder comme pour la parité !

Les points M_x et M_-x sont les points de la courbe représentant la fonction f dont les abscisses respectifs sont x et -x. Intéressons-nous à leur coordonnées.
Celles de M_x sont : (x ; f(x)).
Celles de M_-x sont : (-x ; f(-x)) ce qui s'écrit encore (-x ; -f(x)) car f est impaire.
Représentons-les sur un dessin avec la courbe représentative d'une fonction impaire (en l'occurrence celle de la fonction cube) :

Autrement dit, le point M_-x est le symétrique du point M_x par rapport à l'origine.

On en déduit donc :

Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire, il suffit de trouver un élément x qui infirme la définition de la parité. Car elle spécifie que tous les réels de l'ensemble de définition sont concernés par la condition "f(-x) = f(x)". Trouvons-en un seul et alors la fonction ne remplira pas la condition.

On s'intéresse à g : x x + 15. Prenons x = 2.

g(2) = 2 + 15 =17 et g(-2) = -2 + 15 = 13.

 Or 13 et 17 ne sont ni égaux, ni opposés.

La fonction g n'est donc ni paire ( car g(2) g(-2) ), ni impaire ( car g(-2) - g(2) ).

Passons à la fonction h : x x³ + x² + 1. Prenons x = 1.

h(1) = 1³ + 1² + 1 = 3 et h(-1) = (-1)³ + (-1)² + 1 = -1 + 1 +1 = 1.

Comme 3 et 1 ne sont ni égaux, ni opposés, on peut affirmer que la fonction h n'est ni paire ( en effet h(-1) h(1) ) et ni impaire ( car h(-1) - h(1) ).

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