La fonction sinus est la fonction définie par :

sin : x sin(x).

Ayant un cercle orienté avec un repère direct, pour tout réel x, il existe un point M de ce cercle qui est associé à x (voir définition). Or dans tout repère, tout point a une ordonnée. Autrement dit, tout réel x a un sinus.

L'ensemble de définition de la fonction sinus est donc .

Une propriété du sinus que nous connaissons est que pour tout réel x,

sin(x + 2) = sin(x).

Autrement dit, la fonction sinus est 2 -périodique (ou de période 2).

On peut donc se borner à étudier la fonction sinus sur un intervalle dont la longueur est égale à cette période. Prenons par exemple [- ; ].

Une autre propriété que nous connaissons est que pour tout réel x,

sin(–x) = –sin(x).

Ainsi, la fonction sinus est-elle aussi impaire. Ce qui permet de restreindre l'étude à la partie "positive" de [- ; ]. La fonction sera donc étudiée sur l'intervalle [0 ; ].

Pour tracer la courbe, il nous faut une dizaine de valeurs connues du sinus. Etablissons donc un tableau de celles-ci.

Les cinq premières ainsi que la dernière valeur sont issues du tableau des valeurs remarquables du sinus. Les trois autres réclament un mot de justification.

Tout cela repose sur la propriété : sin( - x) = sin(x).

A présent, on peut tracer la courbe de la fonction sinus sur l'intervalle [- ; ].

La fonction sinus étant 2-périodique, pour tracer sa courbe représentative sur l'intervalle [-7 ; 7], il suffit de reproduire la courbe par des translations horizontales de longueur 2 . On obtient alors la chose suivante.

A observer sa courbe représentative, la fonction sinus semble être croissante avant /2 et décroissante après. Expliquons cela.

Sur l'intervalle [0 ; /2] : soient x et x' sont deux réels de cet intervalle tels que x < x'.

On appelle M et M' les points du cercle trigonométrique respectivement associés à ces réels. Ces points seront sur le quart de cercle en haut à droite. Représentons tout cela :

On remarque que le point M' est plus "haut" que le point M. L'ordonnée de ce premier est donc supérieure à celle de ce dernier. Autrement sin(x') (qui est y_M') est supérieur à sin(x).

En résumé sur cet intervalle, si x < x' alors sin(x) < sin(x').

La fonction sinus est donc croissante sur [0 ; /2].

Sur l'intervalle [/2 ; ] : comme précédemment, on considère deux réels x et x' tels que x < x'. M et M' sont toujours les points du cercle trigonométrique respectivement associés à ces réels. Ces points seront sur le quart de cercle en haut à gauche. Représentons tout cela :

On remarque que le point M' est plus "bas" que le point M. L'ordonnée de l'un est donc inférieure à celle de l'autre. Ainsi sin(x') < sin(x).

En résumé sur cet intervalle, si x < x' alors sin(x) > sin(x').

La fonction sinus est donc décroissante sur [/2 ; ].

L'imparité de la fonction sinus et ses variations sur [0 ; ] nous permettent de dresser son tableau de variation sur [- ; ].

La fonction sinus étant impaire, nous pouvons affirmer que :

Comme elle est croissante sur l'intervalle [0 ; /2] alors elle est aussi croissante sur [-/2 ; 0].

Comme elle est décroissante sur [/2 ; ] alors elle est aussi décroissante sur [- ; /2].

Connaissant les variations de la fonction sinus sur [- ; ], il est facile de connaitre celles-ci sur n'importe quel autre intervalle.

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