Nous devons envisager les deux possibilités.

Première possibilité : si (x' ; y') est égal au vecteur nul alors x' = 0 et y' = 0. De fait, la différence x.y' - x'.y est aussi nulle.

Seconde possibilité : il existe un réel k tel que .

Au niveau des coordonnées, on a alors :

.

Regardons alors ce que donne x.y' - x'.y :

x.y' - x'.y = (k.x').y - x'.(k.y') = k.x'.y' - k.x'.y' = 0

C’est-à-dire ce qu’on voulait!

La réciproque : (x ; y) et (x' ; y') sont deux vecteurs non nuls tels que x.y' – x'.y = 0.

Là de deux choses l'une : soit est égal au vecteur nul, soit il ne l'est pas.

S'il l'est alors pas de problème. C'est une des possibilités.

Si par contre, il ne l'est pas il nous faut alors y regarder de plus prés.

Comme (x' ; y') est non nul alors l’une au moins de ses coordonnées est non nulle. Ainsi si x' est nul alors y' sera nécessairement non nul et réciproquement.

Donc soit x' est nul, soit il est non nul. Examinons les deux cas.

1er cas x' = 0 : nécessairement y' est non nul. On pose alors

Or on sait que x.y' – x'.y = 0 d’où x.y' = x'.y

Il existe donc un réel k tel que ./P>

2nd cas x' ¹ 0 : comme il est non nul, on peut l'inverser. On pose alors

Or on sait que x.y' – x'.y = 0. Et comme pour le premier cas,

A l'instar du premier cas, il existe donc un réel k tel que .