La preuve :

Pour cela, nous allons envisager plusieurs cas suivant que D fasse partie de P ou non.

• 1er cas : la droite D est incluse dans le plan P. A ce moment-là, aucun problème.
  La droite D est parallèle à P car elle en fait partie.
  La propriété (ii) est donc vraie dans ce premier cas.
  Le fait que D et D' soient parallèles ne change ici rien !
   
• 2nd cas : la droite D n'est pas incluse dans le plan P.
  Dans ce second cas, ou bien D et P sont sécants ou bien D est parallèle et distincte de P. Nous allons démontrer que cette première option est impossible.

  Remarquons que les droites D et D' sont nécessairement parallèles distinctes. Si elles étaient confondues alors D serait incluse dans le plan P. Chose qui est exclue ici.

  
  On appelle A un point de D'. N'importe lequel fait l'affaire ! On appelle Q le plan défini par ce point A et cette droite D.
  On peut dire que D' est la parallèle à D passant par A. La droite D' fait donc partie du plan Q.
  Comme elle est aussi incluse dans P, elle est donc l'intersection de ces deux plans.
  Regardons ce qu'il adviendrait si D et P étaient sécants.
  Si la droite D et le plan P étaient sécants alors ils auraient un point M en commun.
  Ce point M ferait nécessairement partie de l'intersection de P et Q qui est D'.
  Or M est aussi un point de D.
  Autrement dit, les droites D et D' seraient soit sécantes en M.
  Chose qui n'est pas possible, vu qu'elles sont parallèles non confondues.
  Autrement dit, la droite D ne peut pas être sécant au plan P. Elle y est donc parallèle.
  La propriété (ii) est donc vraie dans ce second cas.

La propriété (ii) est donc démontrée.