La preuve de ce théorème :
On appelle P le plan médiateur de [AB]. On appelle I le milieu du segment [AB].
La démonstration comporte deux phases :
Au cours de la première, nous allons prouver que tous les points de P sont équidistants de A et de B.
Soit M un plan de P. Là, nous devons envisager deux cas :
1er cas : M est confondu avec I. A ce moment-là, il est clair que M est équidistant de A et de B.
2nd cas : M est distinct de I. On peut alors parler de la droite (IM).
Comme I et M sont deux points du plan P alors les droites (AB) et (IM) sont perpendiculaires en I.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle (AIM) qui est rectangle en I, on peut donc écrire que :
De la même façon, à partir du triangle (BIM) qui est aussi rectangle en I, on peut affirmer que :
Or I est le milieu du segment [AB] donc AI = BI. Il vient alors que :
Une distance comme une longueur étant toujours positive, il vient alors que :
AM = BM.
Ainsi : Tout point M du plan P est donc équidistant de A et de B.
A ce niveau, la démonstration n'est pas terminée. En effet, nous venons de montrer que chaque point de P est équidistant de A et B. Mais la réciproque est-elle vraie ? C'est ce que nous allons voir : seconde phase.
Soit N un point équidistant de A et B. Là encore, deux cas sont à envisager :
- 1er cas : N fait partie de la droite (AB). Nécessairement, N est le milieu de [AB]. Là, pas de problème car I fait partie de P.
- 2nd cas : N ne fait pas partie de la droite (AB). On peut alors parler du plan (ABN). Un plan dont I fait partie.
Comme N est équidistant de A et B, N fait donc partie de la médiatrice de [AB] dans le segment (ABM). Autrement dit, la droite (IN) est perpendiculaire à la droite (AB).
Comme I fait partie du plan P et que le plan P est orthogonal à (AB), la droite (IN) fait donc partie de ce plan. Il en va de même pour N.
Un point équidistant de A et B fait donc nécessairement partie de leur plan médiateur. La réciproque est ainsi montrée.
D'où le théorème.