Si M est un autre point fixé, on sait qu’alors il existe un et un seul point M’ défini par
.
On dit alors que M’ est l’image du point M par l’homothétie de centre
O et de rapport k.
Application : Opération qui consiste à faire correspondre
à tout élément d'un ensemble A un élément
d'un ensemble B et un seul.
Par exemple, la fonction sinus est une application de l’ensemble des
réels (l’ensemble A de la définition) dans lui-même.
Il en va de même pour les autres fonctions.
Un autre exemple d’application est l’opération qui a tout point
du plan fait correspondre son symétrique par rapport à une
droite donnée. La réflexion est une application du plan (ensemble
A) dans lui-même (ensemble B).
On dit souvent des réflexions, rotations, symétries centrales,
projections ou translations qu’elles sont des transformations. En fait,
une transformation est une application du plan dans lui-même.
Au travers de ce chapitre, nous allons traiter d’une transformation d’un nouveau type : l’homothétie (des mots grecs homo : semblable et thétis : position).
1°) Définition et premières propriétés.
Soit O un point du plan et k un réel non nul.
Si M est un autre point fixé, on sait qu’alors il existe un
et un seul point M’ défini par .
On dit alors que M’ est l’image du point M par l’homothétie de centre
O et de rapport k.
Comme pour les fonctions, si M' est l'image de M par h(O ; k) alors on dit que M est l'antécédent de M' par cette homothétie.
L'applette suivante permet de manipuler une homothétie.
Comment ça marche une homothétie ?
H3 : mode d'emploi.
Pour déplacer les points A, B et O, il suffit de cliquer dessus puis de mouvoir la souris en gardant le click enfoncé. On le relache lorsqu'on se trouve à la position désirée.
Le rapport de l'homothétie est modifiable en cliquant sur la boite de saisie. Pour que la saisie soit confirmée, il faut cliquer sur le bouton "Valider". Cliquer sur "Annuler" annulera l'opération.
Les vecteurs 
et 
peuvent être afficher ou non en cliquant sur la zone "Voir AB" / "Effacer AB".
Quelques homothéties remarquables.
L’homothétie de centre O et
de rapport 1 est l’application qui au point M du plan fait correspondre
le point M’ défini par 
.
Autrement dit, le points M et M’ ne font qu’un. Cette transformation qui
laisse tous les points du plan invariants est appelée application
identique du plan ou Identité du plan.
Intéressons-nous maintenant
à l’homothétie de centre O et de rapport –1. Notre point
M’ est alors défini par 
. Ce qui s’écrit aussi 
.
Autrement dit, O est le milieu de [MM’].
Donc M’ est le symétrique de M par rapport à O.
L’homothétie h(O , -1) est donc aussi la symétrie centrale
de centre O.
Réciproquement toute symétrie centrale peut être
vue comme étant une homothétie de même centre et de
rapport –1.
Pour rappel, on dit qu’un point est invariant par une transformation s’il est sa propre image.
La preuve :
En effet si M’ est l’image de M par l’homothétie de centre O
et de rapport k alors 
.
Là, plusieurs cas sont possibles :
1er cas : les points O,
M et M’ sont deux à deux distincts. A ce moment là, on peut
dire des vecteurs 
qu’ils
sont colinéaires. Ce qui assure que O, M et M’ soient alignés.
2nd cas : les points O,
M et M’ ne sont pas distincts deux à deux. Ce qui veut dire que
dans le lot, deux au moins de ces points sont confondus. On a alors aucun
mal à voir qu’ils sont alignés avec le troisième !
 |
 |
La preuve :
Comme A’ est l’image de A par l’homothétie de centre O et de
rapport k alors 
. Ce qui
s’écrit aussi 
.
De même B’ étant celle de B, on a également 
.
Ainsi
.Une des innombrables conséquences de ce théorème, est que le milieu du segment [A’B’] est l’image par l’homothétie de centre O et de rapport k du milieu du segment [AB].
En effet si I est le milieu de [AB] et si on appelle I’ son image par l’homothétie, de part le théorème on a que
.
2°) Image d'une droite par une homothétie.
Conservation de l'alignement.
Une propriété intéressante de l’homothétie
est qu’elle conserve l’alignement des points. Tout comme la réflexion,
la rotation ou la symétrie centrale d’ailleurs !
La preuve :
Comme les points A, B et C sont alignés et deux à deux
distincts, c’est donc que les vecteurs et 
sont
colinéaires.
On sait de plus que A’, B’ et C’ sont les images respectives de A, B
et C par notre homothétie de centre O et de rapport k.
Le théorème 1.3 appliqué à
A et B nous donne alors que 
.
Autrement dit les vecteurs et sont
colinéaires.
De la même manière, le théorème
1.3 appliqué à A et C nous permet d’affirmer que les
vecteurs 
et sont
colinéaires.
Pour résumer,
est donc colinéaire avec qui
est lui-même colinéaire avec qui
aussi est colinéaire au vecteur .
Bref et sont
colinéaires. Les points A’, B’ et C’ étant deux à
deux distincts (comme A, B et C), ils sont par conséquent alignés.
C’qu’on voulait !
Image d'une droite par une homothétie.
A l’instar des réflexions, rotations, translations ou symétries
centrales, l’image d’une droite par une homothétie est une droite.
La démonstration de ce théorème est partiellement difficile. Mais elle est disponible.
Conservation du parallèlisme.
Comme ses cousines, l’homothétie parallélisme.
 |
Les droites  et D sont parallèles.
' et D, leur images respectives par l'homothétie
de centre O et de rapport -1/2 le sont aussi. |
La preuve :
Comme D’ et ’ sont les images respectives de D et par notre homothétie, en vertu du théorème 2.2, d’une part
D et D’ sont parallèles et, de l’autre
et ’ le sont aussi. Enfin, par hypothèse D et
le sont également.
En résumé D’ est parallèle à D qui est parallèle
à qui elle, est parallèle à
’. Bref D’ est parallèle à
’. En cinq mots, ce que l’on voulait !
Conservation de l'orthogonalité.
Et comme une bonne nouvelle ne vient jamais seule, l'homothétie
préserve aussi l'orthogonalité des droites !
 |
Les droites et D sont perpendiculaires.
Il en va de même pour leur images respectives que sont ' et D'. L'homothétie considérée est celle de centre O et de rapport -1/2. Homothétie par laquelle les poinrs A, B et
C ont pour image A', B' et C'. |
La preuve :
Comme D’ est l’image de D par l’homothétie, ces deux droites sont parallèles.
Il en va de même pour ’ et .
Or par hypothèse, D et sont perpendiculaires. Inévitablement du fait de tout ces parallélismes, les droites D’ et ’ ne peuvent être que perpendiculaires.
Image d’un segment par une homothétie.
La démonstration de ce théorème repose sur le fait
que si un point M fait partie d’un segment [AB] alors il existe un et un
seul réel a
[0 ; 1] tel que 
.
Nous la laisserons à la discrétion de chacun, vu qu’elle
est hors-programme...
Comme le teste de sa famille, l’homothétie conserve les angles géométriques.
 |
A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et
C par l'homothétie de centre O et de rapport 1/2. L'homothétie
conserve non seulement les angles géométriques mais également
les angles orientés. Ainsi |
La preuve :
Nous allons démontrer ou plutôt expliquer pourquoi l'homothétie conserve les angles. C'est l'objet de l'animation suivante :
4°) Distance, image d’un cercle et aire.
Contrairement à la réflexion, à la rotation, à la translation et à la symétrie centrale, l’homothétie n’est pas une isométrie. C’est-à-dire qu’elle ne conserve pas nécessairement les distances. Elle les multiplie ou les divise suivant la valeur absolue de son rapport.
Pour s'en rendre compte, utiliser l'applette. Les distances y sont bien multipliées...
Quand la valeur absolue du rapport (c'est-à-dire k) est inférieure
à 1, l'homothétie est un rétrécissement. Quand elle y est supérieure, il s'agit alors d'un agrandissement.
La preuve :
On peut écrire que :
Image d’un cercle par une homothétie.
| L'image du cercle de centre I et de rayon r par l'homothétie de centre O et de rapport 2 est le cercle de centre I' et de rayon 2r. Il va sans dire que par cette homothétie I a pour image I' |
La démonstration de ce théorème est partiellement difficile. Mais elle est disponible.
Aires de quelques figures emblématiques du plan.
Nous l’avons vu au début de ce paragraphe, avec l’homothétie les distances sont multipliées par ½k½ . Les distances changeant, il va nécessairement de mêmes pour les aires qui en sont tributaires.
Nous venons de le voir, l’image d’un
cercle C de rayon r (donc d’aire 
r2
) par une homothétie de rapport k est un cercle C’ de rayon ½k½
r ( donc d’aire k 2 r2
). L’homothétie a donc multiplié l’aire par k2.
Nous avons vu que l’homothétie
conservait le parallélisme, l’orthogonalité et les segments.
L’image par une homothétie de rapport k d’un carré de coté
l (donc d’aire l2 ) est un carré de coté ½
k½ ´
1 (donc d’aire k2 ´ 1). Là
encore, l’aire est multipliée par un facteur k2.
Et ce qui est vrai pour un cercle ou carré, l’est aussi pour toute figure du plan : une homothétie de rapport k en conserve la forme mais en multiplie les dimensions par ½k½ et l’aire par k2.
