La preuve :

Soit M un point du cercle C. On appelle M’ son image par l’homothétie h.
D’après le théorème 4.1, on a alors que : I'M' = ½k½ IM = ½k½.r.
Autrement dit, M’ fait partie du cercle de centre I’ et de rayon ½k½.r donc de C’.

On vient donc de montrer que h( C ) Ì C’. C’est-à-dire que l’image par h de tout point de C est un point de C’ . Mais réciproquement, tout point de C’ est-il l’image par h d’un point de C. C’est ce que nous allons montrer à présent!

Soit N’ un point de C’ qui a pour rayon½k½r. On a donc que I'N'=½k½r.
On définit alors le point N par :

.

Cette relation s’écrit aussi :

Autrement dit, N’ est l’image de N par l’homothétie h. Or
.

Autrement dit, N est un point du cercle C de centre I et de rayon r.
Tout point N’ du cercle C’ est donc l’image par l’homothétie d’un point N du cercle C . Donc C’ Ì h( C ).

Il ne reste plus qu'à conclure :
Nous venons de montrer que h(C) et C' sont inclus l'un dans l'autre. Autrement dit, il s'agit du même ensemble.
Ainsi le cercle C’ est donc l’image par h du cercle C.