4°) Milieu, centre de gravité et vecteurs.
Il y a plusieurs façons de caractériser vectoriellement le milieu d’un segment.
Ayant un point M du plan, il existe une relation vectorielle permettant de dire de I est le milieu d’un segment [AB].
La preuve :
Nous allons procéder par équivalence.
Le cas centre de gravité.
Chacun sait (ou moins est sensé savoir) que dans un triangle (ABC) où I est le milieu de [AC], le centre de gravité de (ABC) se situe au 2/3 du segment [AI]. A partir de cette donnée, nous allons pouvoir établir une ralation vectorielle liant les sommets du triangle au centre de gravité. Soit vectoriellement dit :
La preuve :
Comme à l’occasion du précédent théorème, nous allons procéder par équivalence en partant de l’égalité vectorielle. Quelle originalité, là encore !
On commence par appeller I le milieu du segment [BC]. Ce qui nous permet d’écrire en vertu du théorème précédent que :
