où k est un réel.
La situation est la suivante :
A, B et C sont donc trois points tels que où k est un réel.
La situation est la suivante :
On appelle 
un vecteur directeur de la droite 
.
C'est aussi un vecteur directeur de la droite A qui est la parallèle à passant par A.
Comme A' en fait partie. Il existe donc un réel a tel que 
.
De la même façon, en considérant les droites B et C, nous pouvons affirmer qu'il existe des réels b et c tels que 
.
Revenons à la relation . Appliquons-y la relation de Chasles
Là, deux cas sont possibles. Soit d est nul, soit il ne l'est pas !
Voyons ce qui se passe lorsque d est non nul.
Supposons que d ne soit pas nul. Comme est un vecteur directeur, il est lui aussi non nul. Le produit d. n'est donc pas égal au vecteur nul ! Par conséquent, il en va de même pour 
.
Intéressons-nous aux points A', B' et C'. Ils font tous trois partie de la droite D. On appelle 
un vecteur directeur de cette droite.
Nous pouvons écrire qu'il existe deux réels x et y tels que 
= x. et 
= y..
Ainsi donc :
Comme est non nul et que est un vecteur directeur, le réel z est nécessairement non nul. Si l'on résume, on a donc que :
Autrement dit, les vecteurs et sont colinéaires. Vu qu'ils sont des vecteurs directeurs des droites
et D, celles-ci sont donc parallèles.
Ce qui est absurde. En effet, dans une projection la droite sur laquelle on projette (ici D) ne peut être parallèle à l'axe par rapport auquel on projette (ici
).
Si l'on résume :
Si d est non nul alors les droites D et
sont parallèles.
Autrement dit, si D et
ne sont pas parallèles alors le réel d ne peut pas être non nul. Il est donc nécessairement égal à 0.
Nous venons de réaliser une démonstration par l'absurde. Nous avons supposé quelque chose( d non nul). Et de fil en aiguille, nous avons montré que cela n'était pas possible puisque l'on aboutissait à une contradiction (D et
parallèles). Le principe d'une démonstration par l'absurde est de montrer qu'une certaine chose (ici d = 0) est impossible car cela contredit les données de départ (ici D et
non parallèles).
Le réel d est donc nécessairement nul ! Par suite :
Ce qui démontre le théorème de projection.
Note : le théorème de projection est à la base de toutes les versions existantes du théorème de Thales ainsi que du théorème des milieux. Grâce à lui, ces derniers peuvent être démontrés. C'est ce qui explique son importance et le fait que nous en parlions... alors que d'autres n'effleurent à peine.