Avant d'entamer les hostilités avec l'addition vectorielle, revenons sur un vecteur et un de ses représentants.
Ayant un point A et un vecteur , quelle est la démarche à suivre pour construire un point B tel que . C'est l'objet de l'animation suivante :

L'addition de deux nombres réels est quelque chose de naturel : on rassemble les deux quantités qu'il s'agit d'additionner et on compte ! Pour les vecteurs, les choses sont un peu moins triviales.

Soient deux vecteurs. Qu'est leur somme ?

Première chose : c'est un vecteur qu'il s'agit donc de définir.

Seconde chose : construisons un de ses représentants. C'est l'objet de l'animation suivante :

Si l'on résume, pour construire l'un des représentants d'origine A de , il faut :
Construire le point B tel que .
Construire le point C tel que .
Un représentant du vecteur est alors le vecteur .

Cette addition présente quelques propriétés similaires à celles de l'addition des nombres. Il est fort probable que vous ne les connaissiez pas. C'est donc le moment de les évoquer.

La première de ces propriétés est la commutativité.

Commutativité : .
En effet, si l'on regarde sur une figure :

Cette propriété peut vous sembler banale. Pourtant elle est primordiale. L'addition des nombres présente la même propriété. En effet 2 + 3 = 3 + 2 par exemple !

En effet, si l'on regarde sur une figure :

La question que vous vous posez sans doute est : quel est l'intérêt d'une telle propriété ? Après tout c'est une chose qui semble naturelle !
L'addition des nombres présente une propriété similaire qu'on appelle également associativité. Par exemple, on a que :

Elément neutre :
On dit que le vecteur nul (que l'on note ) est l'élément neutre de l'addition vectorielle.
A titre d'information 0 est l'élément neutre de l'addition des nombres... En effet pour tout réel x,   x + 0 = 0 + x = x.

Revenons à la construction précédente. Nous avons vu que .
Or et . Ainsi vient-il cette relation que l'on appelle relation de Chasles :

Remarque :

Comme toutes les égalités, la relation peut se lire dans les deux sens :
de la gauche vers la droite pour décomposer le vecteur en une somme de vecteurs et .
de la droite vers la gauche pour réduire la somme formée des vecteurs et en un seul vecteur .

En résumé :

Attention, erreur fréquente !

Un autre point important est la condition d'application de la relation de Chasles.
Dans les copies, on voit souvent des erreurs du style :

Certains croient pouvoir appliquer ici la relation de Chasles. Horreur et erreur !
Pour appliquer la relation de Chasles, il faut que les deux vecteurs aient un point en commun qui soit l'extrémité de l'un et l'origine de l'autre. Dans le cas suivant, les conditions sont parfaitement remplies :

Nous avons déjà vu qu'une égalité vectorielle nous permet de caractériser un parallélogramme. Une autre faisant intervenir une somme le permet également.

Nous allons procéder par équivalence.

L'opposé d'un nombre x est un nombre y qui ajouté à x donne 0. De la même manière, on définit l'opposé d'un vecteur.

Cette une belle définition mathématique peut laisser perplexe. Développons donc notre propos...

Intéressons-nous à l'opposé du vecteur . Il semble qu'il s'agisse du vecteur . Vérifions :

Si l'on compare les vecteurs et , on s'aperçoit qu'ils ont même direction et norme mais sont de sens contraire.
Ainsi l'opposé du tout vecteur a-t-il même direction et même norme que mais il est de sens contraire.

Un dernier mot sur l'opposé : on sait que l'opposé du vecteur est le vecteur . Mais quel l'opposé de l'opposé du vecteur ? C'est-à-dire quel est l'opposé du vecteur ?
C'est tout simplement le vecteur .

Enfin, signalons que l'opposé du vecteur est le vecteur . A ne pas confondre avec le vecteur .

La soustraction de deux réels est en fait une addition. En effet, retrancher un nombre à un autre revient à y ajouter l'opposé. De la même manière , on définit la soustraction vectorielle.

Une chose à remarquer au sujet des vecteurs exprimés à partir de points :

Pour conclure ce second paragraphe, nous énoncerons une proposition qui traduit par une soustraction la relation de Chasles.

Tout se fera très vite !

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